Classifique todos os pontos críticos da função
l f(x, y)=15 x^3+y^3-454 x^2 y-3 y f(x, y)=15 x^3+y^3-454 x^2 y-3 y
Escolha uma opção:
a. P1=(0,1) é ponto de mínimo local,
P2=(0,-1) é ponto de máximo local, P3=(2,4) e P4=(-2,-4) são pontos de sela de f.
b. P1=(0,1) é ponto de máximo local, P2=(0,-1) é ponto de mínimo local, P3=(2,4) e P4=(-2,-4) são pontos de sela de f.
c. P1=(0,1) e P2=(0,-1) são pontos de sela de f, P3=(2,4) é ponto de mínimo local e P4=(-2,-4) é ponto de máximo local
d. P1=(0,1) é ponto de sela, P2=(0,-1) é ponto de máximo, P3=(2,4) é ponto de mínimo e P4=(-2,-4) é ponto de sela.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente classificar todos os pontos críticos da função $ f(x, y) = 15x^{3} + y^{3} - \frac{45}{4}x^{2}y - 3y $. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, mais especificamente, da análise de pontos críticos usando derivadas parciais e o teste da segunda derivada para determinar se esses pontos são mínimos, máximos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos críticos da função. Os pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
x
y
Igualando as derivadas a zero:
fx = partial fpartial x = 45x^2 - 452xy
fy = partial fpartial y = 3y^2 - 454x^2 - 3
Resolvendo o sistema de equações, os pontos críticos encontrados são:
45x^2 - 452xy = 0 (1)

Passo 3

Agora, vamos classificar cada um desses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
fxx = partial^2fpartial x^2 = 90x - 452y
fyy = partial^2fpartial y^2 = 6y
fxy = fyx = partial^2fpartial x partial y = -452x
O discriminante $ D $ é dado por:
D
Vamos calcular $ D $ para cada ponto crítico.

Passo 4

Para $ P_{1} = (0, 1) $:
P1 = (0, 1)
fxx = 90(0) - 452(1) = -452
fyy = 6(1) = 6
fxy = -452(0) = 0
Como $ D < 0 $, $ P_{1} $ é um ponto de sela.
Para $ P_{2} = (0, -1) $:
D = (-452)(6) - (0)^2 = -135
D < 0
P1
P2 = (0, -1)
Como $ D < 0 $, $ P_{2} $ é um ponto de sela.
Para $ P_{3} = (2, 4) $:
fxx = 90(0) - 452(-1) = 452
fyy = 6(-1) = -6
fxy = -452(0) = 0
D = (452)(-6) - (0)^2 = -135
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, $ P_{3} $ é um ponto de mínimo local.
Para $ P_{4} = (-2, -4) $:
D < 0
P2
P3 = (2, 4)
fxx = 90(2) - 452(4) = 180 - 90 = 90
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, $ P_{4} $ é um ponto de máximo local.

Resposta

A classificação correta dos pontos críticos é a opção d:
P1=(0,1) é ponto de sela, P2=(0,-1) é ponto de máximo, P3=(2,4) é ponto de mínimo e P4=(-2,-4) é ponto de sela ééáéíé

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