Classifique todos os pontos críticos da função
Escolha uma opção:
a.
é ponto de mínimo local,
é ponto de máximo local,
e
são pontos de sela de
.
b.
é ponto de máximo local,
é ponto de mínimo local,
e
são pontos de sela de
.
c.
e
são pontos de sela de
é ponto de mínimo local e
é ponto de máximo local
d.
é ponto de sela,
é ponto de máximo,
é ponto de mínimo e
é ponto de sela.
a.
b.
c.
d.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente classificar todos os pontos críticos da função $ f(x, y) = 15x^{3} + y^{3} - \frac{45}{4}x^{2}y - 3y $. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, mais especificamente, da análise de pontos críticos usando derivadas parciais e o teste da segunda derivada para determinar se esses pontos são mínimos, máximos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos críticos da função. Os pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Igualando as derivadas a zero:
Resolvendo o sistema de equações, os pontos críticos encontrados são:
Passo 3
Agora, vamos classificar cada um desses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
O discriminante $ D $ é dado por:
Vamos calcular $ D $ para cada ponto crítico.
Passo 4
Para $ P_{1} = (0, 1) $:
Como $ D < 0 $, $ P_{1} $ é um ponto de sela.
Para $ P_{2} = (0, -1) $:
Como $ D < 0 $, $ P_{2} $ é um ponto de sela.
Para $ P_{3} = (2, 4) $:
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, $ P_{3} $ é um ponto de mínimo local.
Para $ P_{4} = (-2, -4) $:
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, $ P_{4} $ é um ponto de máximo local.
Resposta
A classificação correta dos pontos críticos é a opção d: