1-56 Calcule a integral.
integral tg^2 theta sec ^4 theta d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral tan^2theta,sec^4theta,dtheta. O conteúdo principal é integração de funções trigonométricas: vamos usar identidades trigonométricas e substituição para resolver.

Passo 2

Para simplificar o integrando, usamos a identidade trigonométrica sec^2theta=1+tan^2theta, que implica tan^2theta=sec^2theta-1. Assim
integral tan^2theta,sec^4theta,dtheta=integral (sec^2theta-1),sec^4theta,dtheta=integral sec^6theta,dtheta-integral sec^4theta,dtheta

Passo 3

Para calcular cada parcela, fazemos a substituição u=tantheta, de modo que du=sec^2theta,dtheta:
  • integral sec^6theta,dtheta=integral sec^4theta,sec^2theta,dtheta=integral(1+u^2)^2,du=integral(1+2u^2+u^4),du=u+tfrac23u^3+tfrac15u^5+C1.
  • integral sec^4theta,dtheta=integral sec^2theta,sec^2theta,dtheta=integral(1+u^2),du=u+tfrac13u^3+C2.

Passo 4

Subtraindo as duas integrais e voltando para theta (isto é, u=tantheta), obtemos
l(u+tfrac23u^3+tfrac15u^5r)-l(u+tfrac13u^3r)=tfrac13u^3+tfrac15u^5+C
Substituindo u=tantheta, a resposta final é
boxedtan^3theta3+tan^5theta5+C

Resposta

tan^3theta3+tan^5theta5+C

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