$(2,5 pontos) Calcule (2,5 pontos) Calcu<= .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de $ x e^{2x} $ em relação a $ x $. Esse tipo de problema está na matéria de Cálculo Integral, especificamente usando o método de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar identificar quais partes da expressão vão ser $ u $ e $ dv $ na fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes. Ela diz que:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Então, precisamos escolher qual parte da nossa integral será $ u $ e qual será $ dv $. Geralmente, escolhemos $ u $ para ser algo que fica mais simples quando derivado, e $ dv $ para ser algo fácil de integrar.

Passo 3

No nosso caso, vamos escolher:
u = x e dv = e^2x , dx
Agora, vamos derivar $ u $ para encontrar $ du $ e integrar $ dv $ para encontrar $ v $:
u
du

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes com os valores que encontramos:
integral x e^2x , dx = u , v - integral v , du
Substituindo:
= x cdot 12 e^2x - integral 12 e^2x cdot 1 , dx
= 12 x e^2x - 12 integral e^2x , dx

Passo 5

Agora, é só calcular a integral que sobrou:
integral e^2x , dx = 12 e^2x + C
Substituindo de volta:
12 x e^2x - 12 cdot 12 e^2x + C = 12 x e^2x - 14 e^2x + C

Resposta

integral x e^2x , dx = 12 x e^2x - 14 e^2x + C

Exercícios relacionados