$(2,5 pontos) Calcule
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de $ x e^{2x} $ em relação a $ x $. Esse tipo de problema está na matéria de Cálculo Integral, especificamente usando o método de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar identificar quais partes da expressão vão ser $ u $ e $ dv $ na fórmula da integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes. Ela diz que:
Então, precisamos escolher qual parte da nossa integral será $ u $ e qual será $ dv $. Geralmente, escolhemos $ u $ para ser algo que fica mais simples quando derivado, e $ dv $ para ser algo fácil de integrar.
Passo 3
No nosso caso, vamos escolher:
Agora, vamos derivar $ u $ para encontrar $ du $ e integrar $ dv $ para encontrar $ v $:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes com os valores que encontramos:
Substituindo:
Passo 5
Agora, é só calcular a integral que sobrou:
Substituindo de volta: