Classifique em verdadeira ou falsa:
Passo 1
O enunciado pede para classificar como verdadeira ou falsa a igualdade
Informações dadas:
- A função integrada é
. - Os limites de integração são simétricos: de
a e de a . - A pergunta é apenas verdadeiro ou falso para essa igualdade.
Passo 2
Defino a função que aparece no integrando:
Vou verificar uma propriedade simples de
: calcular
.
Como
para todo
, a função
é uma função par (ou seja, é uma função paritária: valores simétricos em relação à origem são iguais).
Passo 3
Propriedade importante (e muito usada em provas): se
é par então, para todo
,
Uma prova rápida da primeira igualdade por substituição: seja
. Faça
. Então
e quando
temos
, quando
temos
. Assim
Como
é par,
, logo
. Isso mostra a igualdade.
Passo 4
Aplicando a propriedade com
e a nossa
, temos
Substituindo isso na igualdade do enunciado, o membro direito fica
Portanto a igualdade proposta passa a ser
Passo 5
A igualdade do passo anterior implica
ou seja
Mas isso é impossível, porque para todo
temos
, logo a integral de uma função estritamente positiva num intervalo de comprimento positivo é estritamente positiva. Portanto
o que contradiz a conclusão necessária para que a igualdade fosse verdadeira.
Passo 6
Conclusão: a igualdade dada não é verdadeira. Uma forma rápida de ver isso sem calcular nada é notar que a função é par, então
; o enunciado exigiria que
, o que só acontece se a integral for zero — mas ela é estritamente positiva. Portanto a afirmação é falsa. Força aí, é só raciocinar com paridade e sinal da função!
Resposta
Falsa