Classifique em verdadeira ou falsa:
\int_{0}^{257}\left(x^{6}+x^{4}+x^{2}\right) d x=-\int_{-257}^{0}\left(x^{6}+x^{4}+x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para classificar como verdadeira ou falsa a igualdade
\int_{0}^{257}\left(x^{6}+x^{4}+x^{2}\right)\,dx=-\int_{-257}^{0}\left(x^{6}+x^{4}+x^{2}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função integrada é x\mapsto x^{6}+x^{4}+x^{2}.
  • Os limites de integração são simétricos: de -257 a 0 e de 0 a 257.
  • A pergunta é apenas verdadeiro ou falso para essa igualdade.

Passo 2

Defino a função que aparece no integrando:
f(x)=x^{6}+x^{4}+x^{2}.
Vou verificar uma propriedade simples de f: calcular f(-x).
f(-x)=(-x)^{6}+(-x)^{4}+(-x)^{2}=x^{6}+x^{4}+x^{2}=f(x).
Como f(-x)=f(x) para todo x, a função f é uma função par (ou seja, é uma função paritária: valores simétricos em relação à origem são iguais).

Passo 3

Propriedade importante (e muito usada em provas): se f é par então, para todo a>0,
\int_{-a}^{0} f(x)\,dx = \int_{0}^{a} f(x)\,dx \qquad\text{e}\qquad \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx.
Uma prova rápida da primeira igualdade por substituição: seja I=\int_{-a}^{0} f(x)\,dx. Faça x=-t. Então dx=-dt e quando x=-a temos t=a, quando x=0 temos t=0. Assim
I=\int_{a}^{0} f(-t)(-dt)=\int_{0}^{a} f(-t)\,dt.
Como f é par, f(-t)=f(t), logo I=\int_{0}^{a} f(t)\,dt. Isso mostra a igualdade.

Passo 4

Aplicando a propriedade com a=257 e a nossa f, temos
\int_{-257}^{0}\left(x^{6}+x^{4}+x^{2}\right)\,dx = \int_{0}^{257}\left(x^{6}+x^{4}+x^{2}\right)\,dx.
Substituindo isso na igualdade do enunciado, o membro direito fica
-\int_{-257}^{0}\left(x^{6}+x^{4}+x^{2}\right)\,dx = -\int_{0}^{257}\left(x^{6}+x^{4}+x^{2}\right)\,dx.
Portanto a igualdade proposta passa a ser
\int_{0}^{257}\left(x^{6}+x^{4}+x^{2}\right)\,dx = -\int_{0}^{257}\left(x^{6}+x^{4}+x^{2}\right)\,dx.

Passo 5

A igualdade do passo anterior implica
2\int_{0}^{257}\left(x^{6}+x^{4}+x^{2}\right)\,dx = 0,
ou seja
\int_{0}^{257}\left(x^{6}+x^{4}+x^{2}\right)\,dx = 0.
Mas isso é impossível, porque para todo x>0 temos \,x^{6}+x^{4}+x^{2}>0, logo a integral de uma função estritamente positiva num intervalo de comprimento positivo é estritamente positiva. Portanto
\int_{0}^{257}\left(x^{6}+x^{4}+x^{2}\right)\,dx>0,
o que contradiz a conclusão necessária para que a igualdade fosse verdadeira.

Passo 6

Conclusão: a igualdade dada não é verdadeira. Uma forma rápida de ver isso sem calcular nada é notar que a função é par, então \int_{-257}^{0}f=\int_{0}^{257}f; o enunciado exigiria que \int_{0}^{257}f=-\int_{0}^{257}f, o que só acontece se a integral for zero — mas ela é estritamente positiva. Portanto a afirmação é falsa. Força aí, é só raciocinar com paridade e sinal da função!

Resposta

Falsa

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