Classifique em verdadeiro ou falso as afirmações referentes a superfície esférica de equação x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-4 y+4 z=0.
O ponto P=(-1,2,-2) é um ponto da superfície esférica.

Passo 1

O enunciado dá a superfície esférica de equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x-4y+4z=0
e pede para decidir se o ponto P=(-1,2,-2) pertence a essa superfície. Para isso, vamos reescrever a equação no formato canônico de esfera, encontrando seu centro e raio.

Passo 2

Reescrevendo por somas de quadrados completos:
x^{2}-2x = (x-1)^{2}-1,\quad y^{2}-4y = (y-2)^{2}-4,\quad z^{2}+4z = (z+2)^{2}-4.
Substituindo na equação original,
(x-1)^{2}-1 \;+\;(y-2)^{2}-4\;+\;(z+2)^{2}-4 = 0
\Longrightarrow (x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+2)^{2} -9 = 0
\Longrightarrow (x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+2)^{2} = 9.
Logo, o centro é C=(1,2,-2) e o raio é r=3.

Passo 3

Para ver se P está na esfera, calculamos a distância de P a C:
PC = \sqrt{(-1-1)^{2} + (2-2)^{2} + (-2+2)^{2}} = \sqrt{(-2)^{2}+0+0} = \sqrt{4} = 2.
Como PC=2\neq r=3, o ponto P não satisfaz a equação da esfera.

Resposta

Falso.

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