Classifique em verdadeiro ou falso as afirmações referentes a superfície esférica de equação x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-4 y+4 z=0.
O ponto P=(3,2,-1) é um ponto interior a superfície esférica.

Passo 1

O enunciado apresenta a superfície esférica de equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x-4y+4z=0
e pede para classificar se o ponto P=(3,2,-1) é interior a essa esfera. Para isso, precisamos reescrever a equação na forma padrão (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}, obtendo o centro C=(x_{0},y_{0},z_{0}) e o raio r. Em seguida, calculamos a distância de P a C e comparamos com r.

Passo 2

Vamos completar quadrados na equação dada:
x^{2}-2x + y^{2}-4y + z^{2}+4z = 0.
Agrupando e adicionando/subtraindo termos:
(x^{2}-2x+1) -1 + (y^{2}-4y+4)-4 + (z^{2}+4z+4)-4 = 0
ou seja
(x-1)^{2} + (y-2)^{2} + (z+2)^{2} -9 = 0.
Logo a forma padrão é
(x-1)^{2} + (y-2)^{2} + (z+2)^{2} = 9,
o que mostra que o centro é
C = (1,\,2,\,-2)
e o raio é
r = 3.

Passo 3

Agora calculamos o quadrado da distância de P=(3,2,-1) até C=(1,2,-2):
d^{2} = (3-1)^{2} + (2-2)^{2} + \bigl(-1 -(-2)\bigr)^{2} = 2^{2} + 0^{2} + 1^{2} = 4 + 1 = 5.
Como d^{2}=5 é menor que r^{2}=9, temos d<r, ou seja, P está dentro da esfera.

Resposta

Verdadeiro

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