Classifique em verdadeiro ou falso:
(I) A soma infinita de números de uma sequência infinita crescente é sempre maior que qualquer número
(II) A soma infinita de números de uma sequência infinita decrescente é sempre igual a um valor finito
Marcar apenas uma oval.
◯ Apenas (I) é Verdadeira
◯ Apenas (II) é Verdadeira
◯ Ambas são Verdadeiras
◯ Ambas são Falsas
◯ não sei

Passo 1

O enunciado pede para decidir se as duas afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas (marcar apenas uma opção):
(I) A soma infinita de números de uma sequência infinita crescente é sempre maior que qualquer número.
(II) A soma infinita de números de uma sequência infinita decrescente é sempre igual a um valor finito.
Informações relevantes dadas (explicitadas):
  • “Soma infinita” refere‑se a uma série \sum_{n=1}^{\infty} a_n cujos termos são os elementos de uma sequência (a_n)_{n\ge1}.
  • “Sequência crescente” significa que a_{n+1}\ge a_n para todo n (monotonia crescente).
  • “Sequência decrescente” significa que a_{n+1}\le a_n para todo n (monotonia decrescente).
  • A pergunta usa a palavra “sempre”: as afirmações valem para toda sequência crescente/decrescente, sem hipóteses adicionais (positividade, etc.).

Passo 2

Conceitos básicos (aulas rápidas, bem mastigadas):
  • Uma série é a soma das parcelas de uma sequência: \sum_{n=1}^{\infty} a_n. Para estudar se essa soma “existe” define‑se a soma parcial
S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n.
A série converge (tem soma finita) se existe \lim_{N\to\infty} S_N\in\mathbb{R}. Se \lim_{N\to\infty} S_N=+\infty ou -\infty diz‑se que diverge para +\infty ou para -\infty; se não há limite, diz‑se apenas que diverge.
  • Teste necessário (muito importante): Se \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge então os termos a_n necessariamente tendem a zero:
\text{se }\sum_{n=1}^{\infty} a_n\\ \text{converge, então }\lim_{n\to\infty} a_n=0.ã
Isto é só uma condição necessária, não é suficiente.
  • Existência de contra‑exemplos é suficiente para mostrar que uma afirmação do tipo “sempre” é falsa: basta um caso que viole a afirmação.

Passo 3

Analisando (I). A afirmação diz que para toda sequência crescente a soma infinita é sempre maior que qualquer número (ou seja, a série diverge para +\infty). Vamos construir um contraexemplo simples para mostrar que isso nem sempre ocorre.
Considere a sequência
a_n=-\frac{1}{n}\quad(n\ge1).
Verificação de monotonia: para todo n,
a_{n+1}-a_n=-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}=\frac{1}{n(n+1)}>0,
logo (a_n) é crescente (os termos aumentam: -1,-\tfrac12,-\tfrac13,\dots aproximam‑se de 0 por cima). Agora a série associada é
\sum_{n=1}^{\infty} a_n=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.
Sabe‑se que a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} diverge para +\infty. Uma demonstração rápida (comparação com integral) é
\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}\ge \int_{1}^{N+1}\frac{1}{x}\,dx=\ln(N+1),
portanto \sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n}\to+\infty quando N\to\infty. Assim
\sum_{n=1}^{N} a_n=-\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}\le -\ln(N+1)\to -\infty.
Conclusão: para esta sequência crescente a soma infinita diverge para -\infty, logo não é “sempre maior que qualquer número”. Portanto (I) é falsa.
Observação didática: existe também o caso oposto (sequência crescente com termos positivos, por exemplo a_n=n), em que a série diverge para +\infty. Mas basta um único contraexemplo para invalidar o “sempre”.

Passo 4

Analisando (II). A afirmação diz que para toda sequência decrescente a soma infinita é sempre igual a um valor finito (ou seja, a série sempre converge). Novamente vamos dar um contraexemplo clássico.
Considere a sequência
a_n=\frac{1}{n}\quad(n\ge1).
Esta sequência é decrescente (porque a_{n+1}-a_n=\tfrac{1}{n+1}-\tfrac{1}{n}=-\tfrac{1}{n(n+1)}<0). A série associada é a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que, como mostrado antes, diverge para +\infty. Logo existe uma sequência decrescente cuja soma infinita não é finita. Portanto (II) é falsa.
Observação didática positiva: existem sequências decrescentes cuja série converge — por exemplo a_n=\dfrac{1}{2^n} é decrescente e
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}=\frac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{2}}=1,
uma soma finita. Isso reforça que ser decrescente não garante convergência; depende da velocidade com que a_n\to0.

Passo 5

Resumo final do raciocínio:
  • (I) é falsa porque há sequências crescentes (por exemplo a_n=-\tfrac{1}{n}) cuja série diverge para -\infty, logo não é verdade que a soma seja sempre maior que qualquer número.
  • (II) é falsa porque há sequências decrescentes (por exemplo a_n=\tfrac{1}{n}) cuja série diverge para +\infty, logo não é verdade que a soma seja sempre finita.
Força aí — perguntas assim gostam de “pegadinhas” com a palavra sempre; contraexemplos resolvem rápido.

Resposta

Ambas são Falsas

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