Classifique em verdadeiro ou falso:
(I) A soma infinita de números de uma sequência infinita crescente é sempre maior que qualquer número
(II) A soma infinita de números de uma sequência infinita decrescente é sempre igual a um valor finito
Marcar apenas uma oval.
◯ Apenas (I) é Verdadeira
◯ Apenas (II) é Verdadeira
◯ Ambas são Verdadeiras
◯ Ambas são Falsas
◯ não sei
(I) A soma infinita de números de uma sequência infinita crescente é sempre maior que qualquer número
(II) A soma infinita de números de uma sequência infinita decrescente é sempre igual a um valor finito
◯ Apenas (I) é Verdadeira
◯ Apenas (II) é Verdadeira
◯ Ambas são Verdadeiras
◯ Ambas são Falsas
◯ não sei
Passo 1
O enunciado pede para decidir se as duas afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas (marcar apenas uma opção):
(I) A soma infinita de números de uma sequência infinita crescente é sempre maior que qualquer número.
(II) A soma infinita de números de uma sequência infinita decrescente é sempre igual a um valor finito.
(I) A soma infinita de números de uma sequência infinita crescente é sempre maior que qualquer número.
(II) A soma infinita de números de uma sequência infinita decrescente é sempre igual a um valor finito.
Informações relevantes dadas (explicitadas):
- “Soma infinita” refere‑se a uma série
cujos termos são os elementos de uma sequência . - “Sequência crescente” significa que
para todo (monotonia crescente). - “Sequência decrescente” significa que
para todo (monotonia decrescente). - A pergunta usa a palavra “sempre”: as afirmações valem para toda sequência crescente/decrescente, sem hipóteses adicionais (positividade, etc.).
Passo 2
Conceitos básicos (aulas rápidas, bem mastigadas):
- Uma série é a soma das parcelas de uma sequência:
. Para estudar se essa soma “existe” define‑se a soma parcial
A série converge (tem soma finita) se existe
. Se
ou
diz‑se que diverge para
ou para
; se não há limite, diz‑se apenas que diverge.
- Teste necessário (muito importante): Se
converge então os termos necessariamente tendem a zero:
Isto é só uma condição necessária, não é suficiente.
- Existência de contra‑exemplos é suficiente para mostrar que uma afirmação do tipo “sempre” é falsa: basta um caso que viole a afirmação.
Passo 3
Analisando (I). A afirmação diz que para toda sequência crescente a soma infinita é sempre maior que qualquer número (ou seja, a série diverge para
). Vamos construir um contraexemplo simples para mostrar que isso nem sempre ocorre.
Considere a sequência
Verificação de monotonia: para todo
,
logo
é crescente (os termos aumentam:
aproximam‑se de
por cima). Agora a série associada é
Sabe‑se que a série harmônica
diverge para
. Uma demonstração rápida (comparação com integral) é
portanto
quando
. Assim
Conclusão: para esta sequência crescente a soma infinita diverge para
, logo não é “sempre maior que qualquer número”. Portanto (I) é falsa.
Observação didática: existe também o caso oposto (sequência crescente com termos positivos, por exemplo
), em que a série diverge para
. Mas basta um único contraexemplo para invalidar o “sempre”.
Passo 4
Analisando (II). A afirmação diz que para toda sequência decrescente a soma infinita é sempre igual a um valor finito (ou seja, a série sempre converge). Novamente vamos dar um contraexemplo clássico.
Considere a sequência
Esta sequência é decrescente (porque
). A série associada é a série harmônica
que, como mostrado antes, diverge para
. Logo existe uma sequência decrescente cuja soma infinita não é finita. Portanto (II) é falsa.
Observação didática positiva: existem sequências decrescentes cuja série converge — por exemplo
é decrescente e
uma soma finita. Isso reforça que ser decrescente não garante convergência; depende da velocidade com que
.
Passo 5
Resumo final do raciocínio:
- (I) é falsa porque há sequências crescentes (por exemplo
) cuja série diverge para , logo não é verdade que a soma seja sempre maior que qualquer número. - (II) é falsa porque há sequências decrescentes (por exemplo
) cuja série diverge para , logo não é verdade que a soma seja sempre finita.
Força aí — perguntas assim gostam de “pegadinhas” com a palavra sempre; contraexemplos resolvem rápido.
Resposta
Ambas são Falsas