é igual a dez mil;
é igual a mil trilhões. Classifique em verdadeiro ou falso:
(I)
(II)
Marcar apenas uma oval.
◯ Apenas (I) é Verdadeira
◯ Apenas (II) é Verdadeira
◯ Ambas são Verdadeiras
◯ Ambas são Falsas
◯ não sei
(I)
(II)
◯ Apenas (I) é Verdadeira
◯ Apenas (II) é Verdadeira
◯ Ambas são Verdadeiras
◯ Ambas são Falsas
◯ não sei
Passo 1
O enunciado dá duas afirmações sobre somas parciais da série harmônica e pede para classificá‑las como verdadeiras ou falsas:
- (I)
. - (II)
.
Informações relevantes dadas no enunciado:
-
. -
é um número muito grande (mil trilhões). - A soma considerada em cada caso é a soma harmônica parcial
com e .
Passo 2
Vamos usar desigualdades elementares que comparam a soma harmônica com integrais da função
(a técnica é desenhar retângulos sob e acima da curva
). Para todo inteiro
vale a desigualdade conhecida:
Explicação rápida do porquê (intuitiva): a área sob
de
a
é
, e as parcelas
podem ser comparadas com essas áreas por retângulos, originando a desigualdade acima.
Agora aplico essa desigualdade aos dois casos para obter limites iniciais.
Passo 3
Caso
.
Calculo as bordas:
Calculo as bordas:
Portanto, pelas desigualdades integrais temos
Isto mostra que
está entre aproximadamente
e
, mas ainda não garante que seja estritamente menor que
. Precisamos de uma estimativa mais precisa.
Passo 4
Para obter uma estimativa mais fina usam‑se correções ao aproximar soma por integral. Existe a expansão assintótica (vinda da fórmula de Euler–Maclaurin):
onde
é a constante de Euler–Mascheroni (
) e o resto
é muito pequeno (por exemplo
para
grande). Essa fórmula significa que a soma harmônica difere de
por uma constante
mais termos decrescentes.
Vou aplicar isso para
. Calculemos termo a termo (todos os números aparecem em notação matemática):
Somando:
O resto
tem magnitude menor que
, desprezível aqui. Assim
Conclusão: a estimativa refinada mostra que
. Logo a afirmação (I) é verdadeira.
Passo 5
Agora
. Podemos usar a desigualdade inferior simples
(ou a aproximação refinada) para mostrar que a soma é muito grande:
Mesmo sem a constante
, já temos
. Portanto
o que é muito maior que
. Usando a aproximação com
teríamos ainda
Conclusão: a afirmação (II) é verdadeira.
Passo 6
Interpretação final: (I) é verdadeira porque
. (II) é verdadeira porque
é da ordem de
–
, claramente maior que
.
Força aí — a série harmônica cresce devagar, mas cresce sem limite; a estimativa com
+
é a ferramenta prática para avaliar essas somas gigantes.
Resposta
Ambas são Verdadeiras