10^{4} é igual a dez mil; 10^{15} é igual a mil trilhões. Classifique em verdadeiro ou falso:
(I) 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{10.000}<10
(II) 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{10^{15}}>20
Marcar apenas uma oval.
◯ Apenas (I) é Verdadeira
◯ Apenas (II) é Verdadeira
◯ Ambas são Verdadeiras
◯ Ambas são Falsas
◯ não sei

Passo 1

O enunciado dá duas afirmações sobre somas parciais da série harmônica e pede para classificá‑las como verdadeiras ou falsas:
  • (I) \;1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\ldots+\dfrac{1}{10.000}<10.
  • (II) \;1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\ldots+\dfrac{1}{10^{15}}>20.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • \;10^{4}=10.000.
  • \;10^{15} é um número muito grande (mil trilhões).
  • A soma considerada em cada caso é a soma harmônica parcial \;H_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k} com n=10^{4} e n=10^{15}.

Passo 2

Vamos usar desigualdades elementares que comparam a soma harmônica com integrais da função f(x)=1/x (a técnica é desenhar retângulos sob e acima da curva y=1/x). Para todo inteiro n\ge1 vale a desigualdade conhecida:
\ln(n+1)\le H_n \le 1+\ln n.
Explicação rápida do porquê (intuitiva): a área sob 1/x de x=k a x=k+1 é \int_{k}^{k+1}\dfrac{1}{x}\,dx, e as parcelas 1/k podem ser comparadas com essas áreas por retângulos, originando a desigualdade acima.
Agora aplico essa desigualdade aos dois casos para obter limites iniciais.

Passo 3

Caso n=10^{4}.
Calculo as bordas:
\ln(10^{4}+1)=\ln(10001)\approx\ln(10^{4})+\ln\!\left(1+\tfrac{1}{10^{4}}\right)\approx 4\ln 10 + 0{,}0001\approx 9{,}21034037,
1+\ln(10^{4})=1+4\ln 10\approx 1+9{,}21034037=10{,}21034037.
Portanto, pelas desigualdades integrais temos
9{,}21034037\le H_{10^{4}}\le 10{,}21034037.
Isto mostra que H_{10^{4}} está entre aproximadamente 9{,}21 e 10{,}21, mas ainda não garante que seja estritamente menor que 10. Precisamos de uma estimativa mais precisa.

Passo 4

Para obter uma estimativa mais fina usam‑se correções ao aproximar soma por integral. Existe a expansão assintótica (vinda da fórmula de Euler–Maclaurin):
H_n = \ln n + \gamma + \dfrac{1}{2n} + R_n,
onde \gamma é a constante de Euler–Mascheroni ( \gamma\approx 0{,}5772156649) e o resto R_n é muito pequeno (por exemplo |R_n|<\dfrac{1}{12n^{2}} para n grande). Essa fórmula significa que a soma harmônica difere de \ln n por uma constante \gamma mais termos decrescentes.
Vou aplicar isso para n=10^{4}. Calculemos termo a termo (todos os números aparecem em notação matemática):
\ln(10^{4})=4\ln 10\approx 4\cdot 2{,}3025850930\approx 9{,}210340372.
\gamma\approx 0{,}5772156649,\qquad \dfrac{1}{2n}=\dfrac{1}{2\cdot 10^{4}}=0{,}00005.
Somando:
\ln(10^{4})+\gamma+\dfrac{1}{2\cdot 10^{4}}\approx 9{,}210340372+0{,}5772156649+0{,}00005 \approx 9{,}787606037.
O resto R_n tem magnitude menor que \dfrac{1}{12n^{2}}=\dfrac{1}{12\cdot 10^{8}}\approx 8{,}3\times 10^{-10}, desprezível aqui. Assim
H_{10^{4}}\approx 9{,}787606037\;(<10).
Conclusão: a estimativa refinada mostra que H_{10^{4}}<10. Logo a afirmação (I) é verdadeira.

Passo 5

Agora n=10^{15}. Podemos usar a desigualdade inferior simples \;H_n\ge \ln(n+1) (ou a aproximação refinada) para mostrar que a soma é muito grande:
\ln(10^{15})=15\ln 10\approx 15\cdot 2{,}3025850930\approx 34{,}538776395.
Mesmo sem a constante \gamma, já temos \ln(10^{15})\approx 34{,}54. Portanto
H_{10^{15}}\ge \ln(10^{15}+1)>\ln(10^{15})\approx 34{,}54,
o que é muito maior que 20. Usando a aproximação com \gamma teríamos ainda
H_{10^{15}}\approx \ln(10^{15})+\gamma\approx 34{,}5388+0{,}5772\approx 35{,}116>20.
Conclusão: a afirmação (II) é verdadeira.

Passo 6

Interpretação final: (I) é verdadeira porque H_{10^{4}}\approx 9{,}788<10. (II) é verdadeira porque H_{10^{15}} é da ordem de 34{,}5 35{,}1, claramente maior que 20.
Força aí — a série harmônica cresce devagar, mas cresce sem limite; a estimativa com \ln n + \gamma é a ferramenta prática para avaliar essas somas gigantes.

Resposta

Ambas são Verdadeiras

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