Classifique-as em VERDADEIRO ou FALSO, justificando suas respostas.
Dado o conjunto v1, v2, v3, v4 em que v4 é combinação linear de v1, v2 e v3 tem-se [v1, v2, v3]=[v1, v2, v3, v4].

Passo 1

Beleza, vamos ver qual é a questão. A gente tem um conjunto de vetores v1, v2, v3, v4 onde o vetor v4 é uma combinação linear dos vetores v1, v2 e v3. A pergunta é se o conjunto formado por v1, v2 e v3 é igual ao conjunto formado por esses três mais o v4. Ou seja, será que [v1, v2, v3] = [v1, v2, v3, v4]? Vamos usar conceitos de combinação linear e espaço vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é combinação linear. Um vetor v4 ser uma combinação linear de v1, v2 e v3 significa que existe escalares a, b e c tais que:
v4 = a,v1 + b,v2 + c,v3
Isso quer dizer que v4 pode ser “construído” usando v1, v2 e v3.

Passo 3

Agora, o que representa o conjunto [v1, v2, v3]? Esse conjunto é conhecido como o espaço gerado (ou span) por v1, v2 e v3. Ele inclui todas as combinações lineares possíveis desses três vetores. Ou seja:
[v1, v2, v3] = alpha,v1 + beta,v2 + gamma,v3 mid alpha, beta, gamma in R

Passo 4

Agora, vamos pensar no conjunto [v1, v2, v3, v4]. Como v4 já está incluído no espaço gerado por v1, v2 e v3 (porque v4 é uma combinação linear deles), adicionar v4 ao conjunto não aumenta o espaço gerado. Ou seja, qualquer combinação linear que envolva v4 já pode ser expressa usando apenas v1, v2 e v3. Portanto:
[v1, v2, v3] = [v1, v2, v3, v4]

Resposta

VERDADEIRO

Exercícios relacionados