Classifique-as em VERDADEIRO ou FALSO, justificando suas respostas.
Dado o conjunto
em que
é combinação linear de
e
tem-se
.
Dado o conjunto
Passo 1
Beleza, vamos ver qual é a questão. A gente tem um conjunto de vetores
onde o vetor
é uma combinação linear dos vetores
,
e
. A pergunta é se o conjunto formado por
,
e
é igual ao conjunto formado por esses três mais o
. Ou seja, será que
? Vamos usar conceitos de combinação linear e espaço vetorial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é combinação linear. Um vetor
ser uma combinação linear de
,
e
significa que existe escalares
,
e
tais que:
Isso quer dizer que
pode ser “construído” usando
,
e
.
Passo 3
Agora, o que representa o conjunto
? Esse conjunto é conhecido como o espaço gerado (ou span) por
,
e
. Ele inclui todas as combinações lineares possíveis desses três vetores. Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos pensar no conjunto
. Como
já está incluído no espaço gerado por
,
e
(porque
é uma combinação linear deles), adicionar
ao conjunto não aumenta o espaço gerado. Ou seja, qualquer combinação linear que envolva
já pode ser expressa usando apenas
,
e
. Portanto:
Resposta
VERDADEIRO