Considere os subespaços
e
de
. Determine:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois subespaços no
. O primeiro,
, é formado por todas as combinações lineares dos vetores
,
e
. O segundo,
, é formado por todos os vetores
que satisfazem a equação
. Nosso objetivo é encontrar todos os vetores que estão em
e em
, ou seja,
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar um vetor qualquer em
como uma combinação linear dos vetores que a geram. Vamos chamar os coeficientes dessa combinação de
,
e
. Então, qualquer vetor em
pode ser escrito como:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, para que
também esteja em
, ela precisa satisfazer a equação
. Substituindo os componentes de
, temos:
Vamos simplificar essa equação passo a passo.
Passo 4
Primeiro, distribua os sinais:
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 5
Agora temos uma equação linear com três variáveis (
,
e
). Para encontrar os vetores na interseção, precisamos encontrar valores de
,
e
que satisfaçam essa equação. Podemos resolver essa equação para uma das variáveis em função das outras. Vamos resolver para
:
Passo 6
Agora, substituímos
de volta na expressão de
:
Vamos simplificar cada componente.
Passo 7
Simplificando cada componente:
- Primeiro componente:
- Segundo componente:
- Terceiro componente:
- Quarto componente:
Passo 8
Agora, podemos fatorar
e
nas componentes:
Isso mostra que todos os vetores na interseção
são combinações lineares das duas colunas de coeficientes acima.
Resposta
O conjunto
é formado por todos os vetores da forma: