Considere os subespaços U=[(-1,0,-2,1),(0,2,7,2),(3,4,17,0)] e W=(x, y, z, w) in R^4: x-y+2 z=0 de R^4. Determine:
W cap U

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois subespaços no R^4. O primeiro, U, é formado por todas as combinações lineares dos vetores (-1,0,-2,1), (0,2,7,2) e (3,4,17,0). O segundo, W, é formado por todos os vetores (x, y, z, w) que satisfazem a equação x - y + 2z = 0. Nosso objetivo é encontrar todos os vetores que estão em U e em W, ou seja, W cap U. Para isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar um vetor qualquer em U como uma combinação linear dos vetores que a geram. Vamos chamar os coeficientes dessa combinação de a, b e c. Então, qualquer vetor em U pode ser escrito como:
v = a cdot (-1,0,-2,1) + b cdot (0,2,7,2) + c cdot (3,4,17,0)
Isso significa que:
v = (-a + 3c, 2b + 4c, -2a + 7b + 17c, a + 2b)

Passo 3

Agora, para que v também esteja em W, ela precisa satisfazer a equação x - y + 2z = 0. Substituindo os componentes de v, temos:
(-a + 3c) - (2b + 4c) + 2(-2a + 7b + 17c) = 0
Vamos simplificar essa equação passo a passo.

Passo 4

Primeiro, distribua os sinais:
-a + 3c - 2b - 4c - 4a + 14b + 34c = 0
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
(-a - 4a) + (-2b + 14b) + (3c - 4c + 34c) = 0
Simplificando:
-5a + 12b + 33c = 0

Passo 5

Agora temos uma equação linear com três variáveis ( a, b e c). Para encontrar os vetores na interseção, precisamos encontrar valores de a, b e c que satisfaçam essa equação. Podemos resolver essa equação para uma das variáveis em função das outras. Vamos resolver para a:
-5a = -12b - 33c implies a = 12b + 33c5

Passo 6

Agora, substituímos a de volta na expressão de v:
v = (-12b + 33c5 + 3c, 2b + 4c, -2(12b + 33c5) + 7b + 17c, 12b + 33c5 + 2b )
Vamos simplificar cada componente.

Passo 7

Simplificando cada componente:
  1. Primeiro componente:
-12b + 33c5 + 3c = -12b5 - 33c5 + 15c5 = -12b5 - 18c5 = -12b - 18c5
  1. Segundo componente:
2b + 4c
  1. Terceiro componente:
-2(12b + 33c5) + 7b + 17c = -24b + 66c5 + 35b5 + 85c5 = -24b - 66c + 35b + 85c5 = 11b + 19c5
  1. Quarto componente:
12b + 33c5 + 2b = 12b + 33c + 10b5 = 22b + 33c5

Passo 8

Agora, podemos fatorar b e c nas componentes:
v = b cdot (-125, 2, 115, 225) + c cdot (-185, 4, 195, 335)
Isso mostra que todos os vetores na interseção W cap U são combinações lineares das duas colunas de coeficientes acima.

Resposta

O conjunto W cap U é formado por todos os vetores da forma:
W cap U = b cdot ( -125,, 2,, 115,, 225 ) + c cdot ( -185,, 4,, 195,, 335 ) ,g|, b, c in R

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