Classifique-as em VERDADEIRO ou FALSO, justificando suas respostas.
A união de conjuntos L.I. ainda é um conjunto LI.
A união de conjuntos L.I. ainda é um conjunto LI.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A questão é para classificar a afirmação “A união de conjuntos L.I. ainda é um conjunto L.I.” como VERDADEIRO ou FALSO. Aqui, “L.I.” significa “linearmente independente”. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é união de conjuntos e o que significa um conjunto ser linearmente independente, que são conceitos da Álgebra Linear.
Passo 2
Vamos começar explicando o que é um conjunto linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Isso significa que os vetores não “dependem” uns dos outros para formar o espaço.
Passo 3
Agora, a união de conjuntos. A união de dois conjuntos é simplesmente todos os elementos que estão em um ou em ambos os conjuntos. Então, se temos dois conjuntos de vetores que são linearmente independentes, a união deles inclui todos os vetores de ambos os conjuntos.
Passo 4
Vamos analisar se a união de dois conjuntos linearmente independentes continua sendo linearmente independente. Suponha que temos dois conjuntos A e B, ambos linearmente independentes. Se tomarmos a união A ∪ B, podemos ter situações onde alguns vetores de A podem ser combinações lineares dos vetores de B, ou vice-versa.
Passo 5
Por exemplo, considere A = {v₁, v₂} e B = {v₃, v₄}, onde todos são vetores linearmente independentes. A união A ∪ B = {v₁, v₂, v₃, v₄} também será linearmente independente se nenhum dos vetores em A for combinação linear dos vetores em B e vice-versa. No entanto, se algum vetor em algum conjunto puder ser escrito como combinação linear de vetores no outro conjunto, a união não será linearmente independente.
Passo 6
Portanto, a afirmação “A união de conjuntos L.I. ainda é um conjunto L.I.” nem sempre é verdadeira. Depende da relação entre os vetores dos diferentes conjuntos. Em muitos casos, a união pode não manter a independência linear.
Resposta
FALSO. A união de conjuntos linearmente independentes nem sempre resulta em um conjunto linearmente independente, pois vetores de diferentes conjuntos podem ser combinações lineares uns dos outros.