Classifique-as em VERDADEIRO ou FALSO, justificando suas respostas.
Dados
subespaços vetoriais de
com
então
é subestpaço de
.
Dados
Passo 1
Neste exercício, vamos analisar uma afirmação sobre subespaços vetoriais. Temos que
e
são subespaços de um espaço vetorial
, e sabemos que a dimensão de
é menor que a dimensão de
(
). A pergunta é: “Então
é subespaço de
?” Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como subespaços vetoriais, dimensão de um espaço vetorial e a relação de inclusão entre subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço
de
é um conjunto de vetores que satisfaz três propriedades:
- Contém o vetor zero:
. - Fechado sob adição: Se
, então . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
e é um escalar, então .
Passo 3
A dimensão de um subespaço, representada por
, é o número de vetores em uma base de
. Uma base é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram todo o subespaço por combinações lineares. Portanto,
significa que
tem menos vetores em sua base do que
.
Passo 4
A afirmação sugere que se
, então
deve ser um subespaço de
. Para que isso fosse verdade, todos os vetores de
precisariam estar dentro de
. No entanto, a dimensão por si só não garante essa inclusão. Ter uma dimensão menor não implica necessariamente que um subespaço está contido em outro.
Passo 5
Vamos considerar um exemplo para ilustrar isso:
- Seja
. - Defina
como o plano , que é um subespaço de com dimensão 2. - Defina
como o eixo , que é um subespaço de com dimensão 1.
Aqui, temos
. No entanto,
não está contido em
, já que o eixo
não pertence ao plano
. Portanto, mesmo com a dimensão de
sendo menor que a de
,
não é necessariamente um subespaço de
.
Resposta
FALSO. Mesmo com
,
não necessariamente é um subespaço de
.