Classifique-as em VERDADEIRO ou FALSO, justificando suas respostas.
Dados U, W subespaços vetoriais de V com dim U<dim W então U é subestpaço de W.

Passo 1

Neste exercício, vamos analisar uma afirmação sobre subespaços vetoriais. Temos que U e W são subespaços de um espaço vetorial V, e sabemos que a dimensão de U é menor que a dimensão de W ( dim U < dim W). A pergunta é: “Então U é subespaço de W?” Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como subespaços vetoriais, dimensão de um espaço vetorial e a relação de inclusão entre subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço U de V é um conjunto de vetores que satisfaz três propriedades:
  1. Contém o vetor zero: 0 in U.
  2. Fechado sob adição: Se u1, u2 in U, então u1 + u2 in U.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se u in U e c é um escalar, então c cdot u in U.

Passo 3

A dimensão de um subespaço, representada por dim U, é o número de vetores em uma base de U. Uma base é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram todo o subespaço por combinações lineares. Portanto, dim U < dim W significa que U tem menos vetores em sua base do que W.

Passo 4

A afirmação sugere que se dim U < dim W, então U deve ser um subespaço de W. Para que isso fosse verdade, todos os vetores de U precisariam estar dentro de W. No entanto, a dimensão por si só não garante essa inclusão. Ter uma dimensão menor não implica necessariamente que um subespaço está contido em outro.

Passo 5

Vamos considerar um exemplo para ilustrar isso:
  • Seja V = R^3.
  • Defina W como o plano xy, que é um subespaço de V com dimensão 2.
  • Defina U como o eixo z, que é um subespaço de V com dimensão 1.
Aqui, temos dim U = 1 < dim W = 2. No entanto, U não está contido em W, já que o eixo z não pertence ao plano xy. Portanto, mesmo com a dimensão de U sendo menor que a de W, U não é necessariamente um subespaço de W.

Resposta

FALSO. Mesmo com dim U < dim W, U não necessariamente é um subespaço de W.

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