Classifique como verdadeiro ou falso, provando se for verdadeiro ou fornecendo um contraexemplo se for falso.
A matriz A_{6 \times 4} tem uma posição pivô em toda coluna, então o sistema A x=b tem solução única para todo b \in \mathbb{R}^{6}.

Passo 1

O enunciado dá que A é uma matriz 6\times4 e que há uma posição pivô em cada coluna. A pergunta é: a afirmação "o sistema A x=b tem solução única para todo b\in\mathbb{R}^{6}" é verdadeira ou falsa?
Informações relevantes fornecidas:
  • A é 6\times4.
  • Há um pivô em cada uma das 4 colunas (ou seja, cada coluna contém um pivô).

Passo 2

Vou explicar o que significa ter um pivô em cada coluna e as consequências úteis para o sistema A x=b.
  • Pivô: ao reduzir A por eliminação de Gauss, um pivô é um elemento não nulo que inicia uma linha escalonada. O número de pivôs é igual ao posto (rank) da matriz.
  • Se há um pivô em cada coluna e A tem 4 colunas, então o número de pivôs é 4. Portanto
\operatorname{rank}(A)=4.
  • Quando \operatorname{rank}(A)=4 e A tem n=4 colunas, isso significa que as colunas de A são linearmente independentes (posto completo por colunas). Consequência: o espaço nulo (núcleo) de A tem dimensão
\dim\ker(A)=n-\operatorname{rank}(A)=4-4=0,
ou seja, a solução do homogêneo A x=0 é apenas x=0. Portanto, se um vetor b for tal que A x=b seja compatível, essa solução será única (não há variáveis livres).

Passo 3

Agora, quando o enunciado afirma “para todo b\in\mathbb{R}^{6} o sistema A x=b tem solução única”, isso exige duas coisas simultâneas:
  1. Existência de solução para todo b\in\mathbb{R}^{6} — equivalente a dizer que as colunas de A geram todo \mathbb{R}^{6}, isto é, \operatorname{Im}(A)=\mathbb{R}^{6}.
  2. Unicidade da solução — que já vimos que ocorre porque \operatorname{rank}(A)=4 e n=4, logo não há liberdade de solução quando existe.
Mas a condição 1 exigiria que
\operatorname{rank}(A)=\dim(\operatorname{Im}(A))=6.
Isso é impossível porque o posto de uma matriz m\times n satisfaz sempre
\operatorname{rank}(A)\le\min(m,n)=\min(6,4)=4.
Portanto não pode ter \operatorname{rank}(A)=6. Logo as colunas de A não podem gerar todo \mathbb{R}^{6}, e não é verdade que para todo b\in\mathbb{R}^{6} exista solução.

Passo 4

Vou dar um contraexemplo concreto (matriz A com pivô em cada coluna e um vetor b para o qual A x=b não tem solução).
Considere
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{6\times4}.
Essa matriz tem pivô em cada uma das 4 colunas (os pivôs estão nas linhas 1,2,3,4), então \operatorname{rank}(A)=4. Tome
b=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\\[2pt]0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{6}.
Para qualquer x\in\mathbb{R}^{4} temos
A x=\begin{pmatrix} x_1\\[2pt] x_2\\[2pt] x_3\\[2pt] x_4\\[2pt] 0\\[2pt] 0 \end{pmatrix},
ou seja, as duas últimas coordenadas de A x são sempre 0. Logo não existe x tal que A x=b, pois b tem a sexta coordenada igual a 1. Assim A x=b é incompatível para esse b.
Isso mostra explicitamente que, embora haja pivô em cada coluna (unicidade quando existe), não há solução para todo b\in\mathbb{R}^{6}.]

Passo 5

Conclusão final: a afirmação do enunciado é falsa. Ter pivô em cada coluna garante unicidade das soluções quando elas existem, mas não garante existência para todo b porque o posto é no máximo 4, menor que 6.

Resposta

Falso

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