(25 pontos) (a) Determine a inversa de A=\left[\begin{array}{cccc}4 & 0 & 1 & 2 \\\\ 2 & 1 / 3 & 0 & 1 \\\\ -1 & 0 & 0 & -1 \\\\ 2 & 0 & 0 & 1\end{array}\right].
(b) Encontre a matriz B tal que A B=C, onde C=\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 0 \\\\ 1 & 0 & -2\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Determinar a inversa da matriz
A=\begin{pmatrix} 4 & 0 & 1 & 2\\[4pt] 2 & \dfrac{1}{3} & 0 & 1\\[4pt] -1 & 0 & 0 & -1\\[4pt] 2 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
  • (b) Encontrar a matriz B que satisfaz \,A B = C, onde
C=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas:
  • A é uma matriz quadrada 4\times4 (então, se existir, A^{-1} também será 4\times4).
  • C é 4\times3. Para que o produto A B seja 4\times3, B deve ser 4\times3.
  • A relação A B = C implica B = A^{-1} C sempre que A for invertível.]

Passo 2

Método para (a): usar eliminação de Gauss–Jordan (método padrão para encontrar inversa).
Ideia prática (passo-a-passo do método):
  • Escreve-se a matriz aumentada [A \mid I], onde I é a identidade 4\times4.
  • Aplica-se operações elementares sobre linhas para transformar a parte esquerda em I. As mesmas operações transformarão a parte direita em A^{-1}.
  • Operações elementares permitidas: trocar linhas, multiplicar uma linha por constante não nula, somar a uma linha um múltiplo de outra.
    Vou aplicar essas operações explicitando cada transformação.
Começo escrevendo a matriz aumentada [A\mid I]:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 4 & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 2 & \dfrac{1}{3} & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 3

Objetivo: pivotar na coluna 1. Tornar o elemento (1,1) igual a 1 dividindo a primeira linha por 4.
R1 := R1 / 4
Resultado:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{4} & 0 & 0 & 0\\[4pt] 2 & \dfrac{1}{3} & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Agora eliminar os outros elementos da coluna 1 usando R1:
  • R2 := R2 - 2·R1
  • R3 := R3 + 1·R1
  • R4 := R4 - 2·R1
Calculemos cada uma:
R2: [2,\tfrac{1}{3},0,1]\;-\;2\cdot[1,0,\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2}] = [0,\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{2},0].
Direita R2: [0,1,0,0] - 2\cdot[\tfrac{1}{4},0,0,0] = [-\tfrac{1}{2},1,0,0].
R3: [-1,0,0,-1] + [1,0,\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2}] = [0,0,\tfrac{1}{4},-\tfrac{1}{2}].
Direita R3: [0,0,1,0] + [\tfrac{1}{4},0,0,0] = [\tfrac{1}{4},0,1,0].
R4: [2,0,0,1] - 2\cdot[1,0,\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2}] = [0,0,-\tfrac{1}{2},0].
Direita R4: [0,0,0,1] - 2\cdot[\tfrac{1}{4},0,0,0] = [-\tfrac{1}{2},0,0,1].
Matriz aumentada fica:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{4} & 0 & 0 & 0\\[6pt] 0 & \dfrac{1}{3} & -\dfrac{1}{2} & 0 & -\dfrac{1}{2} & 1 & 0 & 0\\[6pt] 0 & 0 & \dfrac{1}{4} & -\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{4} & 0 & 1 & 0\\[6pt] 0 & 0 & -\dfrac{1}{2} & 0 & -\dfrac{1}{2} & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 4

Pivotar na coluna 2. A entrada em (2,2) é \tfrac{1}{3}. Torna-se 1 multiplicando R2 por 3:
R2 := 3·R2, obtendo
R2 = \bigl[0,\;1,\;-\tfrac{3}{2},\;0 \mid -\tfrac{3}{2},\;3,\;0,\;0\bigr].
As outras linhas já têm zero na coluna 2, então não é necessário eliminar mais nessa coluna. A matriz aumentada é agora
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{4} & 0 & 0 & 0\\[6pt] 0 & 1 & -\dfrac{3}{2} & 0 & -\dfrac{3}{2} & 3 & 0 & 0\\[6pt] 0 & 0 & \dfrac{1}{4} & -\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{4} & 0 & 1 & 0\\[6pt] 0 & 0 & -\dfrac{1}{2} & 0 & -\dfrac{1}{2} & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 5

Pivotar na coluna 3. Observa-se que em (3,3) está \tfrac{1}{4}. Tornar esse elemento igual a 1 multiplicando R3 por 4:
R3 := 4·R3, então
R3 = \bigl[0,\;0,\;1,\;-2 \mid 1,\;0,\;4,\;0\bigr].
Agora eliminar os outros elementos na coluna 3 usando R3:
  • R1 := R1 - \tfrac{1}{4}·R3 (para zerar o \tfrac{1}{4} em (1,3))
  • R2 := R2 + \tfrac{3}{2}·R3 (para zerar o -\tfrac{3}{2} em (2,3))
  • R4 := R4 + \tfrac{1}{2}·R3 (para zerar o -\tfrac{1}{2} em (4,3))
Calculando resultados:
R1 esquerda: [1,0,\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2}] - \tfrac{1}{4}[0,0,1,-2] = [1,0,0,1].
R1 direita: [\tfrac{1}{4},0,0,0] - \tfrac{1}{4}[1,0,4,0] = [0,0,-1,0].
R2 esquerda: [0,1,-\tfrac{3}{2},0] + \tfrac{3}{2}[0,0,1,-2] = [0,1,0,-3].
R2 direita: [-\tfrac{3}{2},3,0,0] + \tfrac{3}{2}[1,0,4,0] = [0,3,6,0].
R4 esquerda: [0,0,-\tfrac{1}{2},0] + \tfrac{1}{2}[0,0,1,-2] = [0,0,0,-1].
R4 direita: [-\tfrac{1}{2},0,0,1] + \tfrac{1}{2}[1,0,4,0] = [0,0,2,1].
A matriz aumentada fica:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0\\[6pt] 0 & 1 & 0 & -3 & 0 & 3 & 6 & 0\\[6pt] 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & 4 & 0\\[6pt] 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 2 & 1 \end{array}\right].]

Passo 6

Pivotar na coluna 4. Em (4,4) está -1. Tornar o pivô 1 multiplicando R4 por -1:
R4 := -1·R4, dando
R4 = \bigl[0,\;0,\;0,\;1 \mid 0,\;0,\;-2,\;-1\bigr].
Eliminar entradas não nulas na coluna 4 usando R4:
  • R1 := R1 - 1·R4 (para zerar a entrada 1 em (1,4))
  • R2 := R2 + 3·R4 (para zerar a entrada -3 em (2,4))
  • R3 := R3 + 2·R4 (para zerar a entrada -2 em (3,4))
Computações:
R1 esquerda: [1,0,0,1] - [0,0,0,1] = [1,0,0,0].
R1 direita: [0,0,-1,0] - [0,0,-2,-1] = [0,0,1,1].
R2 esquerda: [0,1,0,-3] + 3[0,0,0,1] = [0,1,0,0].
R2 direita: [0,3,6,0] + 3[0,0,-2,-1] = [0,3,0,-3].
R3 esquerda: [0,0,1,-2] + 2[0,0,0,1] = [0,0,1,0].
R3 direita: [1,0,4,0] + 2[0,0,-2,-1] = [1,0,0,-2].
Agora a parte esquerda é a identidade I_4, e a parte direita é A^{-1}. Obtivemos:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\[6pt] 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & -3\\[6pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & -2\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -2 & -1 \end{array}\right].]

Passo 7

Ler a parte direita como A^{-1}. Assim
A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 3 & 0 & -3\\[4pt] 1 & 0 & 0 & -2\\[4pt] 0 & 0 & -2 & -1 \end{pmatrix}.
Antes de usar em (b), vale uma verificação rápida mental: multiplicar A por essa matriz deve dar I_4. (Verificações pontuais confirmam que o produto é a identidade; portanto a inversa está correta.)]

Passo 8

Agora parte (b): resolver A B = C. Como A é invertível, a solução é única e dada por
B = A^{-1} C.
Portanto basta multiplicar a matriz A^{-1} que acabamos de obter (tamanho 4\times4) pela matriz C (tamanho 4\times3). Vou fazer produto linha por coluna, linha a linha, mostrando os cálculos concisos.
Reescrevendo A^{-1} e C para referência:
A^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 3 & 0 & -3\\[4pt] 1 & 0 & 0 & -2\\[4pt] 0 & 0 & -2 & -1 \end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}.]

Passo 9

Calcular B = A^{-1}C linha a linha.
Linha 1 de A^{-1} é [0,0,1,1]. Multiplicando por cada coluna de C:
  • Coluna 1 de C: [0,2,0,1]^T. Produto escalar: 0\cdot0 + 0\cdot2 + 1\cdot0 + 1\cdot1 = 1.
  • Coluna 2 de C: [0,1,-1,0]^T. Produto: 0 + 0 + 1\cdot(-1) + 1\cdot0 = -1.
  • Coluna 3 de C: [1,0,0,-2]^T. Produto: 0 + 0 + 1\cdot0 + 1\cdot(-2) = -2.
Logo linha 1 de B é [1,\,-1,\,-2].
Linha 2 de A^{-1} é [0,3,0,-3]:
  • Com coluna 1: 0\cdot0 + 3\cdot2 + 0\cdot0 + (-3)\cdot1 = 6 -3 = 3.
  • Com coluna 2: 0 + 3\cdot1 + 0\cdot(-1) + (-3)\cdot0 = 3.
  • Com coluna 3: 0 + 3\cdot0 + 0\cdot0 + (-3)\cdot(-2) = 6.
Linha 2 de B: [3,\,3,\,6].
Linha 3 de A^{-1} é [1,0,0,-2]:
  • Com coluna 1: 1\cdot0 + 0\cdot2 + 0\cdot0 + (-2)\cdot1 = -2.
  • Com coluna 2: 1\cdot0 + 0\cdot1 + 0\cdot(-1) + (-2)\cdot0 = 0.
  • Com coluna 3: 1\cdot1 + 0\cdot0 + 0\cdot0 + (-2)\cdot(-2) = 1 + 4 = 5.
Linha 3 de B: [-2,\,0,\,5].
Linha 4 de A^{-1} é [0,0,-2,-1]:
  • Com coluna 1: 0\cdot0 + 0\cdot2 + (-2)\cdot0 + (-1)\cdot1 = -1.
  • Com coluna 2: 0 + 0 + (-2)\cdot(-1) + (-1)\cdot0 = 2.
  • Com coluna 3: 0 + 0 + (-2)\cdot0 + (-1)\cdot(-2) = 2.
Linha 4 de B: [-1,\,2,\,2].
Portanto
B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2\\[4pt] 3 & 3 & 6\\[4pt] -2 & 0 & 5\\[4pt] -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}.]

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 3 & 0 & -3\\[4pt] 1 & 0 & 0 & -2\\[4pt] 0 & 0 & -2 & -1 \end{pmatrix}
B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2\\[4pt] 3 & 3 & 6\\[4pt] -2 & 0 & 5\\[4pt] -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}]

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