(2,0)- Considere on sistema linear A X=b com a seguinte matriz aumentada:
(ccccc1 & 2 & 0 & 3 & 1 1 & a^2+1 & 1 & 0 & a^2 0 & 0 & a+1 & 0 & a 0 & 0 & 0 & 2 & 1).
Determine os valores de a para que o sistema:
a) Não possua solução.
b) Possua uma única solução.
c) Possua infinitas soluções.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema triangular cujas equações são, em ordem:
x1+2x2+3x4=1, x1+(a^2+1)x2+x3=a^2, (a+1)x3=a, 2x4=1
O conteúdo aqui é análise de pivôs em forma escalonada: identificamos primeiro as equações de baixo para cima, vendo para quais valores de a elas geram pivô ou inconsistência.

Passo 2

Da quarta equação temos sempre pivô em 2, logo
x4=12
independente de a. Não há nenhum problema de existência nem multiplicidade de soluções em relação a x4.

Passo 3

Da terceira equação o coeficiente de x3 é a+1.
  • Se a+1neq0 então pivô válido e
x3=aa+1
  • Se a+1=0, ou seja a=-1, a equação vira
0cdot x3=-1,
o que é impossível. Logo, para a=-1 o sistema não tem solução.

Passo 4

Para os valores de a que não anulam o pivô acima ( aneq-1), substituímos x3=tfracaa+1 e x4=tfrac12 nas duas primeiras equações, obtendo o sistema em x1,x2:
x1+2x2=-tfrac12, x1+(a^2+1)x2=a^2-dfracaa+1

Passo 5

Subtraindo a primeira da segunda, vem
l((a^2+1)-2r)x2=;a^2-aa+1+12 ;Longrightarrow;(a^2-1),x2 =;a^2-aa+1+12
O fator a^2-1=(a-1)(a+1) é o determinante desse sistema em x1,x2.

Passo 6

Analisando casos:
  • Se aneqpm1, então a^2-1neq0 e x2 fica determinado de forma única; em seguida x1 também é único. Logo há uma única solução.
  • Se a=1, então a^2-1=0 e as duas equações tornam-se x1+2x2=-tfrac12, x1+2x2=1-tfrac12=tfrac12, que são contraditórias. Logo, para a=1 também não há solução.

Passo 7

Não há nenhum valor de a que produza uma equação nula consistente (pivô zero com RHS zero) sem gerar uma inconsistência em outra linha. Portanto não surge caso de infinitas soluções.

Resposta

a) O sistema não possui solução para
a=-1ou a=1
b) O sistema possui única solução para
aneqpm1
c) Não há valor de a que gere infinitas soluções.

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