(2,0)- Considere on sistema linear com a seguinte matriz aumentada: .
Determine os valores de a para que o sistema:
a) Não possua solução.
b) Possua uma única solução.
c) Possua infinitas soluções.
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema triangular cujas equações são, em ordem:
O conteúdo aqui é análise de pivôs em forma escalonada: identificamos primeiro as equações de baixo para cima, vendo para quais valores de a elas geram pivô ou inconsistência.
Passo 2
Da quarta equação temos sempre pivô em 2, logo
x4=12
independente de a. Não há nenhum problema de existência nem multiplicidade de soluções em relação a x4.
Passo 3
Da terceira equação o coeficiente de x3 é a+1.
Se a+1neq0 então pivô válido e
x3=aa+1
Se a+1=0, ou seja a=-1, a equação vira
0cdot x3=-1,
o que é impossível. Logo, para a=-1 o sistema não tem solução.
Passo 4
Para os valores de a que não anulam o pivô acima (aneq-1), substituímos x3=tfracaa+1 e x4=tfrac12 nas duas primeiras equações, obtendo o sistema em x1,x2:
O fator a^2-1=(a-1)(a+1) é o determinante desse sistema em x1,x2.
Passo 6
Analisando casos:
Se aneqpm1, então a^2-1neq0 e x2 fica determinado de forma única; em seguida x1 também é único. Logo há uma única solução.
Se a=1, então a^2-1=0 e as duas equações tornam-se x1+2x2=-tfrac12, x1+2x2=1-tfrac12=tfrac12, que são contraditórias. Logo, para a=1 também não há solução.
Passo 7
Não há nenhum valor de a que produza uma equação nula consistente (pivô zero com RHS zero) sem gerar uma inconsistência em outra linha. Portanto não surge caso de infinitas soluções.