Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Se dois planos distintos têm um ponto comum, então eles têm uma reta comum que passa pelo ponto.
b) Dois planos distintos que têm uma reta comum são secantes.
c) Se dois planos têm uma reta comum, eles são secantes.
d) Se dois planos têm uma única reta comum, eles são secantes.
e) Dois planos secantes têm interseção vazia.
f) Dois planos secantes têm infinitos pontos comuns.
g) Dois planos secantes têm infinitos pontos comuns.
h) Se dois planos têm um ponto comum, eles têm uma reta comum.
a) Se dois planos distintos têm um ponto comum, então eles têm uma reta comum que passa pelo ponto.
b) Dois planos distintos que têm uma reta comum são secantes.
c) Se dois planos têm uma reta comum, eles são secantes.
d) Se dois planos têm uma única reta comum, eles são secantes.
e) Dois planos secantes têm interseção vazia.
f) Dois planos secantes têm infinitos pontos comuns.
g) Dois planos secantes têm infinitos pontos comuns.
h) Se dois planos têm um ponto comum, eles têm uma reta comum.
Passo 1
O enunciado pede para classificar afirmações sobre a interseção de dois planos em verdadeiro (V) ou falso (F). O conteúdo é geometria no espaço: sabemos que dois planos em
podem ser paralelos sem interseção, coincidentes (interseção é o próprio plano) ou secantes (interseção é uma reta).
Passo 2
Resumo dos casos de interseção:
– Se os planos são paralelos e distintos, não têm ponto comum.
– Se coincidem, todo ponto de um está no outro.
– Se não são paralelos e não coincidem, dizem-se secantes e a interseção é exatamente uma reta.
– Se os planos são paralelos e distintos, não têm ponto comum.
– Se coincidem, todo ponto de um está no outro.
– Se não são paralelos e não coincidem, dizem-se secantes e a interseção é exatamente uma reta.
Passo 3
a) “Se dois planos distintos têm um ponto comum, então eles têm uma reta comum que passa pelo ponto.”
Como planos distintos com ao menos um ponto em comum não podem ser paralelos, eles são secantes e a interseção é uma reta. Logo, é V.
Como planos distintos com ao menos um ponto em comum não podem ser paralelos, eles são secantes e a interseção é uma reta. Logo, é V.
Passo 4
b) “Dois planos distintos que têm uma reta comum são secantes.”
Isso é a definição de planos secantes (são distintos e intersectam numa reta). Logo, é V.
Isso é a definição de planos secantes (são distintos e intersectam numa reta). Logo, é V.
Passo 5
c) “Se dois planos têm uma reta comum, eles são secantes.”
Se eles têm uma reta comum mas coincidem, então não são planos secantes (pois secantes pressupõe interseção numa única reta e planos distintos). Portanto, a afirmação é F.
Se eles têm uma reta comum mas coincidem, então não são planos secantes (pois secantes pressupõe interseção numa única reta e planos distintos). Portanto, a afirmação é F.
Passo 6
d) “Se dois planos têm uma única reta comum, eles são secantes.”
Ter exatamente uma reta de interseção caracteriza planos secantes. Logo, é V.
Ter exatamente uma reta de interseção caracteriza planos secantes. Logo, é V.
Passo 7
e) “Dois planos secantes têm interseção vazia.”
Pelo contrário: planos secantes intersectam justamente numa reta, não têm interseção vazia. Logo, é F.
Pelo contrário: planos secantes intersectam justamente numa reta, não têm interseção vazia. Logo, é F.
Passo 8
f) “Dois planos secantes têm infinitos pontos comuns.”
Como a interseção é uma reta, e uma reta tem infinitos pontos, é V.
Como a interseção é uma reta, e uma reta tem infinitos pontos, é V.
Passo 9
g) “Dois planos secantes têm infinitos pontos comuns.”
É idêntica à anterior, portanto também V.
É idêntica à anterior, portanto também V.
Passo 10
h) “Se dois planos têm um ponto comum, eles têm uma reta comum.”
Novamente, dois planos que se encontram em ao menos um ponto não são paralelos, logo intersectam em uma reta. É V.
Novamente, dois planos que se encontram em ao menos um ponto não são paralelos, logo intersectam em uma reta. É V.
Resposta
a) V
b) V
c) F
d) V
e) F
f) V
g) V
h) V
b) V
c) F
d) V
e) F
f) V
g) V
h) V