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- Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Três pontos distintos determinam um plano.
b) Um ponto e uma reta determinam um único plano.
c) Duas retas distintas paralelas e uma concorrente com as duas determinam dois planos distintos.
d) Três retas distintas, duas a duas paralelas, determinam um ou três planos.
e) Três retas distintas, duas a duas concorrentes, determinam um ou três planos.
- Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Três pontos distintos determinam um plano.
b) Um ponto e uma reta determinam um único plano.
c) Duas retas distintas paralelas e uma concorrente com as duas determinam dois planos distintos.
d) Três retas distintas, duas a duas paralelas, determinam um ou três planos.
e) Três retas distintas, duas a duas concorrentes, determinam um ou três planos.
Passo 1
O enunciado pede para classificar cada afirmação como verdadeira ou falsa no contexto de geometria espacial, em particular usando a noção de quantos planos são determinados por conjuntos de pontos e retas.
Passo 2
a) “Três pontos distintos determinam um plano.”
Para que três pontos determinem um único plano, eles devem ser não-colineares. Como o enunciado só diz “três pontos distintos” sem garantir que não sejam colineares, em caso de colinearidade há infinitos planos passando por eles. Logo a afirmação é falsa.
Para que três pontos determinem um único plano, eles devem ser não-colineares. Como o enunciado só diz “três pontos distintos” sem garantir que não sejam colineares, em caso de colinearidade há infinitos planos passando por eles. Logo a afirmação é falsa.
b) “Um ponto e uma reta determinam um único plano.”
Se o ponto não estiver sobre a reta, há exatamente um plano que contém ambos. Mas se o ponto pertencer à reta, infinitos planos contêm essa reta e o ponto. Portanto não é sempre um único plano, e a afirmação é falsa.
Se o ponto não estiver sobre a reta, há exatamente um plano que contém ambos. Mas se o ponto pertencer à reta, infinitos planos contêm essa reta e o ponto. Portanto não é sempre um único plano, e a afirmação é falsa.
Passo 3
c) “Duas retas distintas paralelas e uma concorrente com as duas determinam dois planos distintos.”
Seja e
intersecta
e
. A reta
com
define um plano
, e
com
define um plano
. Como
e
são paralelas,
e não há nenhum outro plano necessário. Assim, exatamente dois planos são determinados, e a afirmação é verdadeira.
Seja
Passo 4
d) “Três retas distintas, duas a duas paralelas, determinam um ou três planos.”
Duas retas paralelas e
estão sempre num mesmo plano
. A terceira reta
, paralela às outras, ou está em
(caso coplanar) — dando apenas um plano — ou está num plano paralelo
— e então
é o único outro plano, totalizando dois. Não surgem três planos. Logo a afirmação é falsa.
Duas retas paralelas
Passo 5
e) “Três retas distintas, duas a duas concorrentes, determinam um ou três planos.”
Sejam três retas passando pelo mesmo ponto . Se forem coplanares, formam apenas um plano. Se não forem coplanares, cada par de retas define um plano distinto que passa por
, totalizando três planos (há 3 pares). Portanto a afirmação é verdadeira.
Sejam três retas passando pelo mesmo ponto
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
e)