Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F), e justifique sua resposta.
Qualquer vetor em \mathbb{R}^{3} pode ser expresso como combinação linear dos vetores u= (-5,3,2) e v=(3,-1,3).

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3:
u = (-5,3,2), \quad v = (3,-1,3)
e pergunta se qualquer vetor em \mathbb{R}^3 pode ser escrito como combinação linear de u e v. O conteúdo aqui é o conceito de span (espaço gerado) e dimensão de subespaços vetoriais.

Passo 2

Em \mathbb{R}^3, para gerar todo o espaço (isto é, ter span igual a \mathbb{R}^3), precisamos de três vetores linearmente independentes. Com apenas dois vetores, o espaço gerado \mathrm{span}\{u,v\} tem dimensão no máximo 2, ou seja, é um plano em \mathbb{R}^3. Logo, não pode conter todos os vetores de \mathbb{R}^3.

Passo 3

Bastam existir vetores em \mathbb{R}^3\) que não pertençam ao plano gerado por \(u\) e \(v\). Por exemplo, tente expressar o vetor \((0,0,1)\): \[(0,0,1) = a\,(-5,3,2) + b\,(3,-1,3).
Isso leva ao sistema
\begin{cases} -5a + 3b = 0,\\\\ 3a - b = 0,\\\\ 2a + 3b = 1. \end{cases}
Das duas primeiras equações segue b=0\] e \(a=0, mas então a terceira dá 0\neq1. Não há solução, logo (0,0,1) não está em \mathrm{span}\{u,v\}.

Resposta

F
Porque dois vetores não podem gerar todo \mathbb{R}^3.

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