Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F), e justifique sua resposta.
(a) W=\{\left.\left[\begin{array}{ll}a & b \c & d\end{array}\right] \in \mathbf{M}(2,2) \right\rvert\, a, b, c e d \in \mathbb{R} com c+1\} é um subespaço vetorial do espaço \mathbf{M}(2,2) das matrizes reais dois por dois.
(b) \mathbb{R}^{2}=[(1,1),(1,-1),(0,1)] mesmo tendo 3 termos

Passo 1

Estamos em dois tópicos de álgebra linear: (a) teste para subespaço vetorial de \mathbf{M}(2,2) e (b) teste de geração (span) em \mathbb{R}^2. Vamos verificar em (a) se o conjunto W satisfaz os axiomas de subespaço (em particular, se contém a matriz zero) e em (b) se o conjunto de três vetores realmente gera todo \mathbb{R}^2.

Passo 2

Analisando (a):
O conjunto é
W=\Bigl\{\;M=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\in \mathbf{M}(2,2)\mid c+1=0\Bigr\},
isto é, todas as matrizes cujo elemento (2,1) satisfaz c=-1. Para ser subespaço vetorial, W precisa, entre outras coisas, conter a matriz zero
O=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Mas em O temos c=0, então c+1=1\neq0. Logo O\notin W. Como não contém o zero, W não é subespaço.

Passo 3

Analisando (b):
Temos o conjunto
S=\{(1,1),\,(1,-1),\,(0,1)\}.
Para mostrar que \mathrm{Span}(S)=\mathbb{R}^2\), basta ver que \((1,1)\) e \((1,-1)\) já são LI e geram \(\mathbb{R}^2\). De fato, para qualquer \((x,y)\in\mathbb{R}^2\) podemos resolver \[a(1,1)+b(1,-1)=(x,y)
o que dá o sistema
\begin{cases} a+b = x,\\\ a-b = y, \end{cases}
cuja solução é
a=\frac{x+y}{2},\quad b=\frac{x-y}{2}.
Assim (x,y)\] é combinação linear de \((1,1) e (1,-1). O vetor (0,1) é redundante, pois
(0,1)=\tfrac12\bigl[(1,1)-(1,-1)\bigr],
mas não prejudica o fato de o span dos três ser todo \mathbb{R}^2. Portanto a afirmação é verdadeira.

Resposta

(a) F
(b) V

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