Classifique em Verdadeiro (V) ou Falso (F). Se verdadeiro, prove. Se falso, dê um contraexemplo. (OBS: Em todas as sentenças considere que estamos em \mathbb{R}^{3}.)
( ) Por um ponto P, passa uma única reta.
( ) Seja um vetor \vec{u}. Existe um único plano que tem como vetor diretor \vec{u}.
( ) Seja Q o pé da perpendicular baixada do ponto P sobre o plano \pi e R o pé da perpendicular baixada de Q sobre uma reta r contida em \pi. Então, o vetor \overrightarrow{P R} é perpendicular à reta r.
( ) A interseção de três planos concorrentes, é sempre uma reta.
( ) Seja um vetor \vec{n}. Existe um único plano que tem como vetor normal \vec{n}.
( ) Seja a reta r_{1} de vetor diretor \vec{u} e seja a reta r_{2} de vetor diretor \vec{v}. Se \vec{u} \neq \lambda \vec{v}, então as retas são concorrentes.
( ) Em um cubo A B C D E F G H de aresta a, a distância do vértice B à reta que contém a diagonal A G é \frac{a \sqrt{6}}{3}.
( ) Por um ponto de uma reta pode-se traçar uma, e somente uma, perpendicular à reta considerada.
( ) Três pontos não colineares determinam um único plano.
( ) Dada uma reta r, existe uma única reta s, paralela a r, cuja distância é 3.

Passo 1

Você me deu 10 sentenças em \mathbb{R}^3 e pediu para classificar cada uma como Verdadeira (V) ou Falsa (F). Para cada sentença verdadeira devo provar; para cada falsa devo dar um contraexemplo. Vou tratar cada uma separadamente, uma por passo.

Passo 2

Sentença 1: “Por um ponto P, passa uma única reta.”
Análise e contraexemplo: essa afirmação é imprecisa sem dizer “por um ponto P passando por P no espaço” — supondo que a sentença se refere a retas em \mathbb{R}^3 que passam por P, a afirmação é falsa. Por quê? Em \mathbb{R}^3, por um ponto P passam infinitas retas: para cada direção \vec{d} (vetor não nulo), a reta \{P + t\vec{d}\mid t\in\mathbb{R}\} passa por P. Por exemplo, se P=(0,0,0), as retas com direções (1,0,0), (0,1,0), (1,1,0), etc., todas passam por P e são distintas. Logo a sentença é Falsa.

Passo 3

Sentença 2: “Seja um vetor \vec{u}. Existe um único plano que tem como vetor diretor \vec{u}.”
Interpretação e contraexemplo: para um plano em \mathbb{R}^3 costumamos dizer que ele tem dois vetores diretores não colineares (que geram o plano). Se a ideia for “um vetor \vec{u} é paralelo ao plano”, então existem infinitos planos que contêm direções paralelas a \vec{u}. Construção explícita: escolha uma reta r com direção \vec{u} (por exemplo a reta que passa pela origem com vetor diretor \vec{u}); qualquer outro ponto Q fora de r determina, junto com r, um plano que contém \vec{u}. Variando Q obtemos infinitos planos distintos que têm \vec{u} como uma direção. Portanto a afirmação é Falsa.

Passo 4

Sentença 3: “Seja Q o pé da perpendicular baixada do ponto P sobre o plano \pi e R o pé da perpendicular baixada de Q sobre uma reta r contida em \pi. Então, o vetor \overrightarrow{PR} é perpendicular à reta r.”
Prova (verdadeiro): vamos entender geometricamente e usar produto escalar. Por definição, Q é a projeção ortogonal de P sobre \pi, então o segmento \overrightarrow{PQ} é perpendicular a todo vetor que esteja contido em \pi. Em particular, \overrightarrow{PQ} é perpendicular à reta r. Também, por definição, R é a projeção ortogonal de Q sobre r, logo \overrightarrow{QR} é perpendicular a r. Assim temos dois vetores \overrightarrow{PQ} e \overrightarrow{QR} ambos perpendiculares a r. Agora observe
\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}.
Sejam \vec{w} um vetor diretor de r. Como \overrightarrow{PQ}\cdot\vec{w}=0 e \overrightarrow{QR}\cdot\vec{w}=0, pelo fato de o produto escalar ser linear segue
\overrightarrow{PR}\cdot\vec{w}=(\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR})\cdot\vec{w}=0+0=0.
Logo \overrightarrow{PR} é perpendicular à reta r. Portanto a sentença é Verdadeira.

Passo 5

Sentença 4: “A interseção de três planos concorrentes, é sempre uma reta.”
Análise e contraexemplo: “planos concorrentes” significa que os três planos têm um ponto em comum. Mesmo que os três planos se encontrem num ponto comum, a interseção pode ser apenas esse ponto (quando as normais dos três planos são linearmente independentes) ou pode ser uma reta (se dois dos planos intersectam numa reta e o terceiro contém essa reta), ou ainda pode ser toda a mesma reta/ plano em casos degenerados. Contraponto simples: considere os três planos coordenados
\pi_1:\; x=0,\quad \pi_2:\; y=0,\quad \pi_3:\; z=0.
Eles são concorrentes no ponto (0,0,0), mas a interseção \pi_1\cap\pi_2\cap\pi_3 é exatamente o ponto (0,0,0), não uma reta. Portanto a afirmação “sempre uma reta” é Falsa.

Passo 6

Sentença 5: “Seja um vetor \vec{n}. Existe um único plano que tem como vetor normal \vec{n}.”
Análise e contraexemplo: um vetor normal \vec{n} determina a direção ortogonal ao plano, mas não fixa a posição do plano. Em \mathbb{R}^3 os planos com normal \vec{n} têm equações do tipo
\vec{n}\cdot \vec{x}=d,
onde d é um escalar qualquer; variando d obtemos planos paralelos distintos todos com a mesma normal \vec{n}. Por exemplo, se \vec{n}=(0,0,1), os planos z=0, z=1, z=2 etc. têm a mesma normal. Logo não é único: a afirmação é Falsa.

Passo 7

Sentença 6: “Seja a reta r_{1} de vetor diretor \vec{u} e seja a reta r_{2} de vetor diretor \vec{v}. Se \vec{u}\neq \lambda \vec{v}, então as retas são concorrentes.”
Análise e contraexemplo: a condição \vec{u}\neq \lambda\vec{v} diz apenas que as direções não são colineares (ou seja, as retas não são paralelas). Em \mathbb{R}^2 isso implicaria que se não são paralelas então se cruzam; mas em \mathbb{R}^3 há a possibilidade de retas “reversas” (skew): não paralelas mas também não se intersectam porque estão em planos diferentes. Exemplo explícito: tome
r_1:\; \{(t,0,0)\mid t\in\mathbb{R}\}\quad\text{(direção }\vec{u}=(1,0,0)\text{)},çã
r_2:\; \{(0,s,1)\mid s\in\mathbb{R}\}\quad\text{(direção }\vec{v}=(0,1,0)\text{)}.çã
Aqui \vec{u} não é múltiplo de \vec{v}, mas r_1 e r_2 são skew: não se intersectam e não são paralelas. Portanto a afirmação é Falsa.

Passo 8

Sentença 7: “Em um cubo A B C D E F G H de aresta a, a distância do vértice B à reta que contém a diagonal A G é \frac{a\sqrt{6}}{3}.”
Prova (verdadeiro) com coordenadas: coloque o cubo coordenado de modo conveniente. Seja
A=(0,0,0),\; B=(a,0,0),\; G=(a,a,a).
A reta que contém a diagonal AG tem vetor diretor \overrightarrow{AG}=(a,a,a). A distância de um ponto B a uma reta que passa por A com vetor diretor \overrightarrow{AG} é dada pela fórmula da distância ponto–reta usando produto vetorial:
\text{dist}(B,\;AG)=\frac{\|\overrightarrow{AG}\times\overrightarrow{AB}\|}{\|\overrightarrow{AG}\|},
onde \overrightarrow{AB}=B-A=(a,0,0). Calculemos:
\overrightarrow{AG}=(a,a,a),\qquad \overrightarrow{AB}=(a,0,0).
O produto vetorial é
\overrightarrow{AG}\times\overrightarrow{AB}=(a,a,a)\times(a,0,0)=(0,a^2,-a^2),
cuja norma é
\|\overrightarrow{AG}\times\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{0^2+(a^2)^2+(-a^2)^2}=\sqrt{2a^4}=a^2\sqrt{2}.
A norma de \overrightarrow{AG} é
\|\overrightarrow{AG}\|=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=a\sqrt{3}.
Portanto
\text{dist}(B,AG)=\frac{a^2\sqrt{2}}{a\sqrt{3}}=a\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}.
Logo a sentença é Verdadeira.

Passo 9

Sentença 8: “Por um ponto de uma reta pode-se traçar uma, e somente uma, perpendicular à reta considerada.”
Análise e contraexemplo: se o ponto pertence à reta considerada, em \mathbb{R}^3 existem infinitas retas através desse ponto que são perpendiculares à reta dada. Raciocínio: a coleção de direções perpendiculares a uma dada direção forma um plano (o plano ortogonal); todas as linhas que passam pelo ponto e têm direções dentro desse plano serão perpendiculares à reta dada. Exemplo concreto: considere a reta r eixo x e o ponto P=(0,0,0) sobre r. Qualquer reta no plano x=0 que passe por P (por exemplo a reta no sentido y ou a reta no sentido y+z) é perpendicular a r. Logo não é única; existem infinitas. Portanto a sentença é Falsa.

Passo 10

Sentença 9: “Três pontos não colineares determinam um único plano.”
Prova (verdadeiro): seja A,B,C três pontos não colineares em \mathbb{R}^3. A existência: os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} são não colineares (pois A,B,C não colineares), logo eles geram um subespaço afim de dimensão 2 — isto é, há um plano que contém A e tem direções \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}; explicitamente o plano pode ser descrito como
\{A + s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}\mid s,t\in\mathbb{R}\}.
A unicidade: suponha que exista outro plano \pi' que contenha A,B,C. Então \pi' contém os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} (diferenças de pontos do plano) e por consequência contém todo o conjunto A + \mathrm{span}\{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\}, que é exatamente o plano que já construímos. Assim \pi'=\pi. Portanto há exatamente um plano que contém três pontos não colineares. Sentença Verdadeira.

Passo 11

Sentença 10: “Dada uma reta r, existe uma única reta s, paralela a r, cuja distância é 3.”
Análise e contraexemplo: a condição "distância igual a 3" entre duas retas paralelas significa que o deslocamento perpendicular entre elas tem módulo 3. Se fixamos uma reta r, podemos deslocá‑la por qualquer vetor \vec{w} perpendicular à direção de r com \|\vec{w}\|=3; tal deslocamento gera uma reta s paralela a r à distância 3. Mas existem infinitas direções perpendiculares entre as quais escolher \vec{w} (por exemplo, em torno de r forma-se um círculo de possíveis vetores \vec{w} de comprimento 3). Assim existem infinitas retas paralelas a r à distância 3. Exemplo concreto: se r é o eixo x, então para qualquer ponto (0,3\cos\theta,3\sin\theta) considere a reta paralela ao eixo x passando por esse ponto; todas essas retas são paralelas a r e têm distância 3 de r. Logo a afirmação de unicidade é Falsa.

Resposta

(F)
(F)
(V)
(F)
(F)
(F)
(V)
(F)
(V)
(F)

Exercícios relacionados