A pergunta é: qual a posição relativa entre esses planos? Ou seja, eles são paralelos entre si, coincidentes, ou intersectam-se (por uma reta comum ou num ponto comum)? Listei as equações e vou usar-as na resolução.
Passo 2
Primeiro passo lógico: olhar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano dado por ax+by+cz+d=0 é (a,b,c). Se dois vetores normais são múltiplos escalar, os planos são paralelos (ou coincidentes, caso também os termos constantes sigam a mesma proporção). Se os três vetores normais não são todos colineares, precisamos verificar se há interseção comum. Uma forma prática é montar o sistema linear formado pelos coeficientes dos x,y,z e analisar a matriz dos coeficientes; o determinante dessa matriz indica se existe interseção única dos três planos.
Passo 3
Vou extrair os vetores normais das equações (peguei essas informações diretamente das equações dadas no enunciado):
Agora verifico proporcionalidade entre eles. Para ser múltiplo, deveria existir k tal que \mathbf{n}_i = k\mathbf{n}_j. Comparando coordenadas rapidamente vemos que não existe um único k que torne todas as coordenadas proporcionais (por exemplo, para \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 a razão entre as primeiras coordenadas seria 4, mas 3\cdot4\neq -1). Portanto nenhum par é paralelo nem coincidente por inspeção dos normais.
Passo 4
Como os normais não são múltiplos, procuro saber se os três planos têm um ponto em comum único (concorrência em um ponto) ou se há outro tipo de configuração. Para isso escrevo o sistema linear formado pelos coeficientes de x,y,z\) e termos constantes (reorganizando cada equação como \(ax+by+cz = b\)):
\[\begin{cases} - x + 3y -4z = -2,\\[4pt] -4x - y +8z = -4,\\[4pt] \; x - y +4z = -1. \end{cases}
Como \det(A)=48\neq 0, o sistema tem solução única: os três planos intersectam-se em exatamente um ponto.]
Passo 6
Para além de concluir que há uma interseção única, vou calcular esse ponto de interseção para que você saiba como fazer na prova. Uso a regra de Cramer: x=\dfrac{\Delta_x}{\Delta}, y=\dfrac{\Delta_y}{\Delta}, z=\dfrac{\Delta_z}{\Delta}, onde \Delta=\det(A) e \Delta_x,\Delta_y,\Delta_z são determinantes obtidos substituindo a coluna correspondente por \mathbf{b}.
Passo 7
Calculo \Delta_x (substituindo a primeira coluna por \mathbf{b}):
Portanto existe um único ponto que pertence aos três planos, que é \left(\dfrac{1}{12},-\dfrac{3}{2},-\dfrac{31}{48}\right). (Se preferir, você pode verificar substituindo essas coordenadas nas equações originais — elas satisfazem as três equações.)
Resposta
Os três planos são concorrentes: intersectam-se em um único ponto \left(\dfrac{1}{12},-\dfrac{3}{2},-\dfrac{31}{48}\right).