Determinar a posição relativa entre os planos:
\pi_{1}:-x+y-4 z+2=0, \pi_{2}:-2 x+2 y+8 z+4=0 e \pi_{3}: x-y+4 z+1=0

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a posição relativa entre os planos \pi_{1}, \pi_{2} e \pi_{3}. Ou seja, para cada par devemos decidir se são paralelos, coincidentes ou se se intersectam (em reta ou em ponto) e também verificar se os três têm interseção comum.
Informações dadas (as equações dos planos):
\pi_{1}:-x+y-4z+2=0,
\pi_{2}:-2x+2y+8z+4=0,
\pi_{3}:x-y+4z+1=0.

Passo 2

Primeira ideia prática (e muito usada em provas): associar a cada plano seu vetor normal. O vetor normal de um plano dado por ax+by+cz+d=0 é (a,b,c). Vetores normais são úteis porque:
  • Se os vetores normais de dois planos são proporcionais, então os planos são paralelos (podem ou não coincidir).
  • Se não são proporcionais, então os planos se intersectam numa reta (ou num ponto se envolverem um terceiro plano).
Calculemos os normais:
n_{1}=(-1,1,-4),
n_{2}=(-2,2,8),
n_{3}=(1,-1,4).

Passo 3

Compare n_{1} e n_{3}. Observa-se que
n_{3}=-\,n_{1}.
Isto significa que \pi_{1} e \pi_{3} têm normais colineares; portanto são planos paralelos (podem ser coincidentes se as constantes forem proporcionais). Para ver se coincidem, multiplico a equação de \pi_{1} por -1:
\text{(-1)}\cdot\pi_{1}:\quad x-y+4z-2=0.
Compare com \pi_{3}:\; x-y+4z+1=0. As equações diferem no termo constante ( -2 versus +1), logo não são a mesma equação: \pi_{1} e \pi_{3} são paralelos e distintos (não coincidem).

Passo 4

Compare n_{2} com n_{1} (ou n_{3}). Calcule as razões:
\frac{-2}{-1}=2,\qquad \frac{2}{1}=2,\qquad \frac{8}{-4}=-2.
As razões não são todas iguais (a terceira difere de sinal), portanto n_{2} não é múltiplo de n_{1}. Assim \pi_{2} não é paralelo a \pi_{1} nem a \pi_{3}; logo \pi_{2} intersecta \pi_{1} e \pi_{3} em retas (cada par não paralelo determina uma reta de interseção).

Passo 5

Para saber se as duas retas de interseção (a de \pi_{1}\cap\pi_{2} e a de \pi_{2}\cap\pi_{3}) são paralelas entre si, podemos usar o produto vetorial dos normais: a direção da reta de interseção de dois planos é n_i\times n_j.
Calcule d_{12}=n_{1}\times n_{2}:
n_{1}\times n_{2}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ -1 & 1 & -4\\\\ -2 & 2 & 8 \end{vmatrix} =(16,16,0).
Isto é proporcional a (1,1,0), então a direção da reta \pi_{1}\cap\pi_{2} é (1,1,0).
Agora d_{23}=n_{3}\times n_{2}. Mas como n_{3}=-n_{1} temos
d_{23}=n_{3}\times n_{2}=(-n_{1})\times n_{2}=-\,(n_{1}\times n_{2})=-d_{12}.
Logo d_{23} é paralelo a d_{12}. Conclusão: as duas retas de interseção têm a mesma direção, portanto são retas paralelas.

Passo 6

Para ser completamente explícito e didático, vamos resolver os sistemas para obter as equações paramétricas das retas de interseção (mostra na prova que são de fato retas paralelas e distintas).
Primeiro simplifico \pi_{2}\) dividindo por \(2\): \[\pi_{2}:\;-x+y+4z+2=0.
Interseção \pi_{1}\cap\pi_{2}: resolvemos o sistema
\begin{cases} -x+y-4z+2=0,\\[4pt] -x+y+4z+2=0. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos
8z=0\quad\Rightarrow\quad z=0.
Com z=0\], pela primeira equação \[-x+y+2=0, então y=x-2. Tomando parâmetro t para x, obtemos a reta
\pi_{1}\cap\pi_{2}:\quad (x,y,z)=(t,\;t-2,\;0),\quad t\in\mathbb{R},
que tem direção (1,1,0) (confirmando o produto vetorial).
Interseção \pi_{3}\cap\pi_{2}: resolvemos
\begin{cases} x-y+4z+1=0,\\[4pt] -x+y+4z+2=0. \end{cases}
Somando as duas equações:
8z+3=0\quad\Rightarrow\quad z=-\tfrac{3}{8}.
Com z=-\tfrac{3}{8}\], da primeira equação \(x-y+4(-\tfrac{3}{8})+1=0 x-y-\tfrac{3}{2}+1=0\Rightarrow x-y+\tfrac{1}{2}=0\Rightarrow x=y-\tfrac{1}{2}. Tomando parâmetro s para y, obtemos
\pi_{3}\cap\pi_{2}:\quad (x,y,z)=\Big(s-\tfrac{1}{2},\;s,\;-\tfrac{3}{8}\Big) =\Big(-\tfrac{1}{2},0,-\tfrac{3}{8}\Big)+s(1,1,0),\quad s\in\mathbb{R}.
Direção também (1,1,0). As duas retas têm a mesma direção mas pontos distintos (por exemplo o ponto (0,-2,0) pertence à primeira reta quando t=0, e não pertence à segunda pois a segunda tem z=-\tfrac{3}{8}), logo são retas paralelas distintas.]

Passo 7

Resumo lógico e conclusão final (para usar direto na prova):
  • \pi_{1} e \pi_{3} são paralelos e distintos.
  • \pi_{2} não é paralelo a \pi_{1} nem a \pi_{3}; corta cada uma delas por uma reta.
  • As retas \pi_{1}\cap\pi_{2} e \pi_{2}\cap\pi_{3} são paralelas entre si (mesma direção (1,1,0)) e distintas. Não existe um ponto comum aos três planos.

Resposta

\pi_{1} e \pi_{3} são paralelos distintos.
\pi_{2} intersecta \pi_{1} e \pi_{3} em duas retas paralelas distintas.
\pi_{1}\cap\pi_{2}:\\ (x,y,z)=(t,\;t-2,\;0),\\ t\in\mathbb{R}.
\pi_{2}\cap\pi_{3}:\\ (x,y,z)=\big(-\tfrac{1}{2},0,-\tfrac{3}{8}\big)+s(1,1,0),\\ s\in\mathbb{R}.

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