Determinar a posição relativa entre os planos: \pi_{1}:-x+y-4 z+2=0, \pi_{2}:-2 x+2 y+8 z+4=0 e \pi_{3}: x-y+4 z+1=0
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a posição relativa entre os planos \pi_{1}, \pi_{2} e \pi_{3}. Ou seja, para cada par devemos decidir se são paralelos, coincidentes ou se se intersectam (em reta ou em ponto) e também verificar se os três têm interseção comum.
Informações dadas (as equações dos planos):
\pi_{1}:-x+y-4z+2=0,
\pi_{2}:-2x+2y+8z+4=0,
\pi_{3}:x-y+4z+1=0.
Passo 2
Primeira ideia prática (e muito usada em provas): associar a cada plano seu vetor normal. O vetor normal de um plano dado por ax+by+cz+d=0 é (a,b,c). Vetores normais são úteis porque:
Se os vetores normais de dois planos são proporcionais, então os planos são paralelos (podem ou não coincidir).
Se não são proporcionais, então os planos se intersectam numa reta (ou num ponto se envolverem um terceiro plano).
Calculemos os normais:
n_{1}=(-1,1,-4),
n_{2}=(-2,2,8),
n_{3}=(1,-1,4).
Passo 3
Compare n_{1} e n_{3}. Observa-se que
n_{3}=-\,n_{1}.
Isto significa que \pi_{1} e \pi_{3} têm normais colineares; portanto são planos paralelos (podem ser coincidentes se as constantes forem proporcionais). Para ver se coincidem, multiplico a equação de \pi_{1} por -1:
\text{(-1)}\cdot\pi_{1}:\quad x-y+4z-2=0.
Compare com \pi_{3}:\; x-y+4z+1=0. As equações diferem no termo constante (-2 versus +1), logo não são a mesma equação: \pi_{1} e \pi_{3} são paralelos e distintos (não coincidem).
Passo 4
Compare n_{2} com n_{1} (ou n_{3}). Calcule as razões:
As razões não são todas iguais (a terceira difere de sinal), portanto n_{2} não é múltiplo de n_{1}. Assim \pi_{2} não é paralelo a \pi_{1} nem a \pi_{3}; logo \pi_{2} intersecta \pi_{1} e \pi_{3} em retas (cada par não paralelo determina uma reta de interseção).
Passo 5
Para saber se as duas retas de interseção (a de \pi_{1}\cap\pi_{2} e a de \pi_{2}\cap\pi_{3}) são paralelas entre si, podemos usar o produto vetorial dos normais: a direção da reta de interseção de dois planos é n_i\times n_j.
Logo d_{23} é paralelo a d_{12}. Conclusão: as duas retas de interseção têm a mesma direção, portanto são retas paralelas.
Passo 6
Para ser completamente explícito e didático, vamos resolver os sistemas para obter as equações paramétricas das retas de interseção (mostra na prova que são de fato retas paralelas e distintas).
Primeiro simplifico \pi_{2}\) dividindo por \(2\):
\[\pi_{2}:\;-x+y+4z+2=0.
Interseção \pi_{1}\cap\pi_{2}: resolvemos o sistema
Com z=-\tfrac{3}{8}\], da primeira equação \(x-y+4(-\tfrac{3}{8})+1=0 dá x-y-\tfrac{3}{2}+1=0\Rightarrow x-y+\tfrac{1}{2}=0\Rightarrow x=y-\tfrac{1}{2}. Tomando parâmetro s para y, obtemos
Direção também (1,1,0). As duas retas têm a mesma direção mas pontos distintos (por exemplo o ponto (0,-2,0) pertence à primeira reta quando t=0, e não pertence à segunda pois a segunda tem z=-\tfrac{3}{8}), logo são retas paralelas distintas.]
Passo 7
Resumo lógico e conclusão final (para usar direto na prova):
\pi_{1} e \pi_{3} são paralelos e distintos.
\pi_{2} não é paralelo a \pi_{1} nem a \pi_{3}; corta cada uma delas por uma reta.
As retas \pi_{1}\cap\pi_{2} e \pi_{2}\cap\pi_{3} são paralelas entre si (mesma direção (1,1,0)) e distintas. Não existe um ponto comum aos três planos.
Resposta
\pi_{1} e \pi_{3} são paralelos distintos. \pi_{2} intersecta \pi_{1} e \pi_{3} em duas retas paralelas distintas. \pi_{1}\cap\pi_{2}:\\ (x,y,z)=(t,\;t-2,\;0),\\ t\in\mathbb{R}. \pi_{2}\cap\pi_{3}:\\ (x,y,z)=\big(-\tfrac{1}{2},0,-\tfrac{3}{8}\big)+s(1,1,0),\\ s\in\mathbb{R}.