Considere as retas r: X=(1,1,1)+t(1,-1,1), t \in \mathbb{R} e s:\left\{\begin{array}{l}x=0-2 k \\\ y=1+2 k \\\ z=-1-2 k\end{array} \quad k \in \mathbb{R}\right.
a) Verifique se as retas r e s são paralelas, reversas ou concorrentes.
b) Calcule a distância entre as retas r e s.

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço:
r:\; X=(1,1,1)+t(1,-1,1),\quad t\in\mathbb{R}
s:\; \begin{cases} x=0-2k\\[4pt] y=1+2k\\[4pt] z=-1-2k \end{cases}\quad k\in\mathbb{R}
As perguntas são:
  1. Verificar se as retas r e s são paralelas, reversas (obliquas / sem interseção não paralelas) ou concorrentes (intersectam).
  2. Calcular a distância entre as retas r e s.
Informações relevantes extraídas do enunciado que usaremos: pontos e vetores diretores implícitos nas formas paramétricas dadas.]

Passo 2

Extraímos um ponto e um vetor diretor de cada reta (isto é padrão: numa reta paramétrica X=P+tv, P é um ponto da reta e v é o vetor diretor).
Para r:
P_r=(1,1,1),\qquad v_r=(1,-1,1).
Para s (pegando k=0 como ponto de referência):
P_s=(0,1,-1),\qquad v_s=(-2,2,-2).
Expliquei: P_s é obtido substituindo k=0 nas equações de s; v_s é o coeficiente de k em cada coordenada.

Passo 3

Para ver se as retas são paralelas, verificamos se os vetores diretores são proporcionais (isto é, se existe \lambda tal que v_s=\lambda v_r).
Observamos que
v_s=(-2,2,-2)=-2(1,-1,1)=-2\,v_r.
Logo os vetores diretores são proporcionais, o que implica que as retas são coplanares paralelas ou coincidentes (se fossem proporcionais e as retas tivessem um ponto em comum seriam coincidentes). Precisamos checar se há interseção.

Passo 4

Testamos se existe t,k\in\mathbb{R}\) tal que um mesmo ponto satisfaça as duas parametrizações: \[(1+t,\,1-t,\,1+t)=(-2k,\,1+2k,\,-1-2k).
Isso gera o sistema (equacionando coordenada a coordenada):
\begin{cases} 1+t=-2k\\[4pt] 1-t=1+2k\\[4pt] 1+t=-1-2k \end{cases}
Resolvemos as duas primeiras equações para achar t\] em função de \(k e checar consistência.]

Passo 5

Da primeira equação:
t=-2k-1.
Da segunda equação:
1-t=1+2k\implies -t=2k\implies t=-2k.
Comparando as duas expressões para t:
-2k=-2k-1 \implies 0=-1,
contradição. Portanto não existe t,k que satisfaça simultaneamente, ou seja, as retas não se intersectam. Como os vetores diretores são proporcionais e não há interseção, concluímos que as retas são paralelas e distintas.

Passo 6

Agora calculamos a distância entre duas retas paralelas. Técnica prática e padrão: a distância entre duas retas paralelas é a distância entre um ponto de uma reta e a outra reta, que pode ser obtida por
\text{dist}=\frac{\left\| (P_s-P_r)\times v_r\right\|}{\|v_r\|},
onde \times é o produto vetorial, \|\cdot\| é norma euclidiana, P_r e P_s são pontos quaisquer de r e s, e v_r é um vetor diretor comum (qualquer vetor diretor proporcional serve). Explicação rápida do porquê: (P_s-P_r)\times v_r produz um vetor ortogonal ao plano formado por (P_s-P_r) e v_r; seu comprimento é \|P_s-P_r\|\,\|v_r\|\sin\theta, e dividir por \|v_r\| deixa \|P_s-P_r\|\sin\theta, que é exatamente a distância perpendicular entre as retas.

Passo 7

Tomamos P_r=(1,1,1), P_s=(0,1,-1) e v_r=(1,-1,1) (já obtidos).
Calculamos o vetor de ligação
\Delta = P_s-P_r=(0-1,\,1-1,\,-1-1)=(-1,\,0,\,-2).

Passo 8

Calculamos o produto vetorial \Delta\times v_r. Usamos a fórmula componente a componente:
Se a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3), então
a\times b=(a_2b_3-a_3b_2,\; a_3b_1-a_1b_3,\; a_1b_2-a_2b_1).
Aplicando com a=\Delta=(-1,0,-2) e b=v_r=(1,-1,1):
\Delta\times v_r=\big(0\cdot1-(-2)\cdot(-1),\; (-2)\cdot1-(-1)\cdot1,\; (-1)\cdot(-1)-0\cdot1\big).
Calculando cada componente:
\Delta\times v_r=(-2,\,-1,\,1).

Passo 9

Calculamos as normas:
\|\Delta\times v_r\|=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6},
\|v_r\|=\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}.

Passo 10

Aplicando a fórmula da distância:
\text{dist}=\frac{\|\Delta\times v_r\|}{\|v_r\|}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\sqrt{2}.
Interpretação: a menor distância entre as retas é \sqrt{2}.

Resposta

a) As retas r e s são paralelas (paralelas distintas).
b) A distância entre r e s é \sqrt{2}.

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