Considere as retas r: X=(1,1,1)+t(1,-1,1), t \in \mathbb{R} e s:\left\{\begin{array}{l}x=0-2 k \\\ y=1+2 k \\\ z=-1-2 k\end{array} \quad k \in \mathbb{R}\right.
a) Verifique se as retas r e s são paralelas, reversas ou concorrentes.
b) Calcule a distância entre as retas r e s.
Verificar se as retas r e s são paralelas, reversas (obliquas / sem interseção não paralelas) ou concorrentes (intersectam).
Calcular a distância entre as retas r e s.
Informações relevantes extraídas do enunciado que usaremos: pontos e vetores diretores implícitos nas formas paramétricas dadas.]
Passo 2
Extraímos um ponto e um vetor diretor de cada reta (isto é padrão: numa reta paramétrica X=P+tv, P é um ponto da reta e v é o vetor diretor).
Para r:
P_r=(1,1,1),\qquad v_r=(1,-1,1).
Para s (pegando k=0 como ponto de referência):
P_s=(0,1,-1),\qquad v_s=(-2,2,-2).
Expliquei: P_s é obtido substituindo k=0 nas equações de s; v_s é o coeficiente de k em cada coordenada.
Passo 3
Para ver se as retas são paralelas, verificamos se os vetores diretores são proporcionais (isto é, se existe \lambda tal que v_s=\lambda v_r).
Observamos que
v_s=(-2,2,-2)=-2(1,-1,1)=-2\,v_r.
Logo os vetores diretores são proporcionais, o que implica que as retas são coplanares paralelas ou coincidentes (se fossem proporcionais e as retas tivessem um ponto em comum seriam coincidentes). Precisamos checar se há interseção.
Passo 4
Testamos se existe t,k\in\mathbb{R}\) tal que um mesmo ponto satisfaça as duas parametrizações:
\[(1+t,\,1-t,\,1+t)=(-2k,\,1+2k,\,-1-2k).
Isso gera o sistema (equacionando coordenada a coordenada):
Resolvemos as duas primeiras equações para achar t\] em função de \(k e checar consistência.]
Passo 5
Da primeira equação:
t=-2k-1.
Da segunda equação:
1-t=1+2k\implies -t=2k\implies t=-2k.
Comparando as duas expressões para t:
-2k=-2k-1 \implies 0=-1,
contradição. Portanto não existe t,k que satisfaça simultaneamente, ou seja, as retas não se intersectam. Como os vetores diretores são proporcionais e não há interseção, concluímos que as retas são paralelas e distintas.
Passo 6
Agora calculamos a distância entre duas retas paralelas. Técnica prática e padrão: a distância entre duas retas paralelas é a distância entre um ponto de uma reta e a outra reta, que pode ser obtida por
onde \times é o produto vetorial, \|\cdot\| é norma euclidiana, P_r e P_s são pontos quaisquer de r e s, e v_r é um vetor diretor comum (qualquer vetor diretor proporcional serve). Explicação rápida do porquê: (P_s-P_r)\times v_r produz um vetor ortogonal ao plano formado por (P_s-P_r) e v_r; seu comprimento é \|P_s-P_r\|\,\|v_r\|\sin\theta, e dividir por \|v_r\| deixa \|P_s-P_r\|\sin\theta, que é exatamente a distância perpendicular entre as retas.
Passo 7
Tomamos P_r=(1,1,1), P_s=(0,1,-1) e v_r=(1,-1,1) (já obtidos).
Calculamos o vetor de ligação