Classifique, verifique e determine a solução geral da EDO a seguir, aplicando o método da Eq. Auxiliar.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede três coisas: (1) classificar a EDO, (2) verificar a solução obtida e (3) determinar a solução geral aplicando o método da equação auxiliar. As informações relevantes são a própria EDO (é homogênea, de segunda ordem, com coeficientes constantes) e que devemos usar o método da equação auxiliar.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática e intuitiva). A técnica da equação auxiliar parte da tentativa de solução do tipo
onde
é um número (potencialmente complexo) a determinar. Por que essa tentativa? Porque exponenciais têm a propriedade prática de que derivar é simples: se
então
e
. Substituindo na EDO obtemos uma equação algébrica em
(a chamada equação auxiliar ou característica). Se encontrarmos
que satisfaz essa equação algébrica, então
é solução da EDO. Depois, pela linearidade da equação homogênea, combinações lineares dessas soluções também são soluções.
Passo 3
Aplicando a tentativa
. Calcule as derivadas:
Substituindo na EDO:
Fatorando
(que nunca é zero), obtemos a equação algébrica em
:
Esta é a equação auxiliar (ou característica).
Passo 4
Resolver a equação auxiliar
. Fatorando:
Logo as raízes são
Passo 5
Interpretação das raízes e forma da solução geral. Quando as raízes da equação auxiliar são reais e distintas (como aqui:
e
), temos duas soluções independentes dadas por
e
. Assim a solução geral da EDO é a combinação linear dessas duas soluções:
onde
e
são constantes arbitrárias (determinariam condições iniciais, se houvessem).
Passo 6
Verificação explícita de que a solução geral satisfaz a EDO (passo requerido: verifique). Verifico primeiro que cada termo
e
é solução isolada, usando a equação auxiliar: se
é raiz de
então substituindo
obtemos
Como
e
anulam o polinômio, tanto
quanto
satisfazem a EDO. Pela linearidade da equação homogênea, qualquer combinação linear
também satisfaz a EDO. Portanto a solução geral encontrada está verificada.
Passo 7
Comentários didáticos adicionais (como usar isso na prova). Resumo rápido das três possibilidades que você deve decorar e reconhecer na prova:
Assim, ao ver a equação característica na prova, resolva-a e aplique o caso correspondente — isso dá a solução geral direta.
Resposta
Classificação: Equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes; equação característica
com raízes reais distintas
.\nVerificação: Cada
e
satisfaz a EDO e, por linearidade,
também satisfaz.\nSolução geral:
.