Classifique, verifique e determine a solução geral da EDO a seguir, aplicando o método da Eq. Auxiliar.
y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{\prime\prime}-5y^{\prime}+6y=0
e pede três coisas: (1) classificar a EDO, (2) verificar a solução obtida e (3) determinar a solução geral aplicando o método da equação auxiliar. As informações relevantes são a própria EDO (é homogênea, de segunda ordem, com coeficientes constantes) e que devemos usar o método da equação auxiliar.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática e intuitiva). A técnica da equação auxiliar parte da tentativa de solução do tipo
y=e^{rx},
onde r é um número (potencialmente complexo) a determinar. Por que essa tentativa? Porque exponenciais têm a propriedade prática de que derivar é simples: se y=e^{rx} então y'=r e^{rx} e y''=r^{2}e^{rx}. Substituindo na EDO obtemos uma equação algébrica em r (a chamada equação auxiliar ou característica). Se encontrarmos r que satisfaz essa equação algébrica, então e^{rx} é solução da EDO. Depois, pela linearidade da equação homogênea, combinações lineares dessas soluções também são soluções.

Passo 3

Aplicando a tentativa y=e^{rx}. Calcule as derivadas:
y' = r e^{rx},\qquad y'' = r^{2} e^{rx}.
Substituindo na EDO:
r^{2}e^{rx} -5(r e^{rx}) +6(e^{rx})=0.
Fatorando e^{rx} (que nunca é zero), obtemos a equação algébrica em r:
r^{2}-5r+6=0.
Esta é a equação auxiliar (ou característica).

Passo 4

Resolver a equação auxiliar \;r^{2}-5r+6=0\;. Fatorando:
r^{2}-5r+6=(r-2)(r-3)=0.
Logo as raízes são
r_{1}=2,\qquad r_{2}=3.

Passo 5

Interpretação das raízes e forma da solução geral. Quando as raízes da equação auxiliar são reais e distintas (como aqui: r_{1}=2 e r_{2}=3), temos duas soluções independentes dadas por e^{r_{1}x} e e^{r_{2}x}. Assim a solução geral da EDO é a combinação linear dessas duas soluções:
y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{3x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (determinariam condições iniciais, se houvessem).

Passo 6

Verificação explícita de que a solução geral satisfaz a EDO (passo requerido: verifique). Verifico primeiro que cada termo e^{2x} e e^{3x} é solução isolada, usando a equação auxiliar: se r é raiz de r^{2}-5r+6=0 então substituindo y=e^{rx} obtemos
y''-5y'+6y=(r^{2}-5r+6)e^{rx}=0.
Como r=2 e r=3 anulam o polinômio, tanto e^{2x} quanto e^{3x} satisfazem a EDO. Pela linearidade da equação homogênea, qualquer combinação linear C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{3x} também satisfaz a EDO. Portanto a solução geral encontrada está verificada.

Passo 7

Comentários didáticos adicionais (como usar isso na prova). Resumo rápido das três possibilidades que você deve decorar e reconhecer na prova:
\text{(a) raízes reais distintas } r_{1}\neq r_{2}\Rightarrow y=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x},í
\text{(b) raiz real dupla } r\text{ (multiplicidade 2)}\Rightarrow y=(C_{1}+C_{2}x)e^{rx},
\text{\text{(c)} raízes complexas } \alpha\pm i\beta\Rightarrow y=e^{\alpha x}\big(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\big).í
Assim, ao ver a equação característica na prova, resolva-a e aplique o caso correspondente — isso dá a solução geral direta.

Resposta

Classificação: Equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes; equação característica \;r^{2}-5r+6=0\; com raízes reais distintas r=2,3.\nVerificação: Cada e^{2x} e e^{3x} satisfaz a EDO e, por linearidade, C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{3x} também satisfaz.\nSolução geral: \;y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{3x}.

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