Classifique, verifique e determine a solução geral da EDO a seguir, aplicando o método da Eq. Auxiliar.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede: classificar, verificar e determinar a solução geral usando o método da equação auxiliar. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- a equação envolve
(segunda derivada) e ; - o coeficiente de
é e o termo de é (constante); - não há termo independente (lado direito igual a
), ou seja, é homogênea; - é uma equação de ordem
.
Passo 2
Proponho uma solução do tipo exponencial para construir a equação auxiliar: suponha
onde
é um número (possivelmente complexo) a determinar. Então as derivadas são
Substituindo na equação diferencial obtemos
Como
nunca é zero para nenhum
, podemos dividir por
e obter a equação característica (equação auxiliar)
Passo 3
Resolva a equação auxiliar:
Portanto os coeficientes da equação auxiliar são complexos conjugados. Escrevemos as raízes na forma
com
e
.
Passo 4
Quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas
, a forma geral das soluções reais é
onde
e
são constantes reais arbitrárias. Aqui
e
, portanto a solução geral é
com
.
Passo 5
Verificação (substituição direta para checar): tome
Calcule as derivadas:
Substituindo em
obtemos
logo a solução encontrada satisfaz a equação diferencial, verificação concluída.
Passo 6
Classificação final e observações rápidas: é uma equação diferencial de ordem
, linear, homogênea, com coeficientes constantes; as soluções são combinações de seno e cosseno com frequência angular
, ou seja, soluções oscilatórias com período
. Força aí — com esse padrão você resolve rápido várias equações parecidas na prova.
Resposta
Equação de ordem
, linear, homogênea com coeficientes constantes.
Verificação: a solução satisfaz (substituição confirma).
Verificação: a solução satisfaz