Classifique, verifique e determine a solução geral da EDO a seguir, aplicando o método da Eq. Auxiliar.
y^{\prime \prime}+36 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'' + 36y = 0
e pede: classificar, verificar e determinar a solução geral usando o método da equação auxiliar. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • a equação envolve y'' (segunda derivada) e y;
  • o coeficiente de y'' é 1 e o termo de y é 36 (constante);
  • não há termo independente (lado direito igual a 0), ou seja, é homogênea;
  • é uma equação de ordem 2.

Passo 2

Proponho uma solução do tipo exponencial para construir a equação auxiliar: suponha
y(x)=e^{rx},
onde r é um número (possivelmente complexo) a determinar. Então as derivadas são
y'(x)=r e^{rx},\qquad y''(x)=r^{2} e^{rx}.
Substituindo na equação diferencial obtemos
r^{2} e^{rx} + 36 e^{rx} = 0.
Como e^{rx} nunca é zero para nenhum x, podemos dividir por e^{rx} e obter a equação característica (equação auxiliar)
r^{2} + 36 = 0.

Passo 3

Resolva a equação auxiliar:
r^{2} + 36 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^{2} = -36 \quad\Longrightarrow\quad r = \pm 6i.
Portanto os coeficientes da equação auxiliar são complexos conjugados. Escrevemos as raízes na forma \alpha \pm i\beta com \alpha=0 e \beta=6.

Passo 4

Quando a equação caracterí­stica tem raízes complexas conjugadas \alpha \pm i\beta, a forma geral das soluções reais é
y(x)=e^{\alpha x}\big(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias. Aqui \alpha=0 e \beta=6, portanto a solução geral é
y(x)=C_{1}\cos(6x)+C_{2}\sin(6x),
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.

Passo 5

Verificação (substituição direta para checar): tome
y(x)=C_{1}\cos(6x)+C_{2}\sin(6x).
Calcule as derivadas:
y'(x)=-6C_{1}\sin(6x)+6C_{2}\cos(6x),
y''(x)=-36C_{1}\cos(6x)-36C_{2}\sin(6x)=-36\big(C_{1}\cos(6x)+C_{2}\sin(6x)\big)=-36y(x).
Substituindo em y''+36y obtemos
y''+36y = -36y + 36y = 0,
logo a solução encontrada satisfaz a equação diferencial, verificação concluída.

Passo 6

Classificação final e observações rápidas: é uma equação diferencial de ordem 2, linear, homogênea, com coeficientes constantes; as soluções são combinações de seno e cosseno com frequência angular 6, ou seja, soluções oscilatórias com período \dfrac{2\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}. Força aí — com esse padrão você resolve rápido várias equações parecidas na prova.

Resposta

Equação de ordem 2, linear, homogênea com coeficientes constantes.
Verificação: a solução satisfaz y''+36y=0 (substituição confirma).
y(x)=C_{1}\cos(6x)+C_{2}\sin(6x)

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