Classifique, verifique e determine a solução geral da EDO a seguir, aplicando o método dos Coeficientes Indeterminados.
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=3 x

Passo 1

Enunciado: resolver a equação diferencial
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+y=3x.
O que é pedido:
  1. Classificar a equação (ordem, linearidade, homogeneidade, coeficientes).
  2. Verificar (ou checar) a solução encontrada.
  3. Determinar a solução geral usando o método dos coeficientes indeterminados.
Informações dadas: a equação envolve a segunda derivada de y, a função y e um termo não homogêneo à direita igual a 3x (um polinômio de grau 1). Não há condições iniciais fornecidas (apenas pedem solução geral).

Passo 2

Classificação da equação — vamos listar propriedades explicitamente e explicar por que:
  • Ordem: é de segunda ordem, porque aparece \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}.
  • Linearidade: é linear em y pois não aparecem termos como y^2, y'\cdot y, \sin(y), etc.; a equação é da forma linear.
  • Coeficientes: são constantes (o coeficiente de y'' é 1 e o de y é 1, ambos constantes).
  • Homogeneidade: é não homogênea porque o lado direito 3x é diferente de zero.
    Resumo: trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo (fonte) igual a um polinômio.

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada e explicar o processo:
Consideramos primeiro a equação homogênea
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+y=0.
Para EDOs lineares com coeficientes constantes, usamos a equação característica. Substituímos y=e^{rx} (ideia: procurar soluções exponenciais), o que leva à equação característica
r^{2}+1=0.
Resolvendo:
r^{2}=-1 \quad\Rightarrow\quad r=\pm i.
Quando as raízes são complexas conjugadas r=\alpha\pm i\beta com \alpha=0 e \beta=1, a solução geral da homogênea é
y_h = C_{1}\cos x + C_{2}\sin x,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Aqui explicando: as exponenciais complexas se combinam em funções reais \cos e \sin porque e^{i x}=\cos x + i\sin x.

Passo 4

Explicação didática do método dos coeficientes indeterminados e quando usá-lo:
  • Ideia: para uma EDO linear com coeficientes constantes e termo forçado (RHS) pertencente a uma classe “fechada” (polinômios, exponenciais, senos/cossenos, ou produtos desses), conseguimos supor um formato simples para uma solução particular y_p com coeficientes desconhecidos; depois substituímos na EDO e determinamos esses coeficientes comparando termos.
  • Regra prática: escolha y_p com a mesma forma do RHS (por exemplo, para polinômio de grau n tente um polinômio de grau n). Se alguma das funções do palpite y_p for solução da homogênea, multiplica-se o palpite por x^s, onde s é a multiplicidade da raiz correspondente da equação característica (isso evita “ressonância”).
  • No nosso caso o RHS é um polinômio 3x (grau 1), e as soluções homogêneas são \cos x e \sin x, que não são polinômios. Portanto não há ressonância e não precisamos multiplicar por x.

Passo 5

Escolha do palpite para a solução particular e cálculo:
Como o RHS é um polinômio de grau 1, escolhemos o palpite
y_p = Ax + B,
onde A e B são coeficientes indeterminados a determinar. Calculamos derivadas:
\frac{dy_p}{dx}=A,\qquad \frac{d^{2}y_p}{dx^{2}}=0.
Substituímos na EDO:
\frac{d^{2}y_p}{dx^{2}} + y_p = 0 + (Ax + B) = Ax + B.
Isto deve ser igual a 3x. Igualando coeficientes do polinômio (método padrão: comparar termos em x e termos constantes),
  • coeficiente de x: A = 3,
  • termo constante: B = 0.
Portanto obtemos
y_p = 3x.

Passo 6

Formar a solução geral usando princípio da superposição:
Para EDO linear, a solução geral é soma da solução homogênea com uma particular:
y(x) = y_h + y_p = C_{1}\cos x + C_{2}\sin x + 3x,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (determinar-se-iam por condições iniciais, se existissem).

Passo 7

Verificação explícita da solução (mostrar que satisfaz a EDO):
Tomemos y(x)=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x + 3x. Suas derivadas são
y'(x) = -C_{1}\sin x + C_{2}\cos x + 3,
y''(x) = -C_{1}\cos x - C_{2}\sin x + 0.
Agora calcule y''+y:
y''+y = \big(-C_{1}\cos x - C_{2}\sin x\big) + \big(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x + 3x\big) = 3x.
Os termos em \cos x e \sin x cancelam exatamente (porque a parte homogênea satisfaz y_h''+y_h=0), restando 3x. Logo a solução verifica a equação dada — verificação completa.

Passo 8

Comentário final curto e incentivo:
Prontinho — a técnica aqui foi direta: homogênea com raízes complexas gerou seno e cosseno; RHS polinomial pediu palpite polinomial; não houve ressonância. Você já tem a solução geral e sabe como verificar. Vai dar certo na prova — respira fundo e treina mais uns exercícios parecidos!

Resposta

Classificação: EDO linear de segunda ordem, coeficientes constantes, não homogênea (termo forçado 3x).
Verificação: substituindo y=C_{1}\cos x+C_{2}\sin x+3x na EDO obtém-se y''+y=3x, portanto verifica.
Solução geral: y(x)=C_{1}\cos x+C_{2}\sin x+3x.

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