Classifique, verifique e determine a solução geral da EDO a seguir, aplicando o método dos Coeficientes Indeterminados.
Passo 1
Enunciado: resolver a equação diferencial
O que é pedido:
- Classificar a equação (ordem, linearidade, homogeneidade, coeficientes).
- Verificar (ou checar) a solução encontrada.
- Determinar a solução geral usando o método dos coeficientes indeterminados.
Informações dadas: a equação envolve a segunda derivada de
, a função
e um termo não homogêneo à direita igual a
(um polinômio de grau 1). Não há condições iniciais fornecidas (apenas pedem solução geral).
Passo 2
Classificação da equação — vamos listar propriedades explicitamente e explicar por que:
- Ordem: é de segunda ordem, porque aparece
. - Linearidade: é linear em
pois não aparecem termos como , , , etc.; a equação é da forma linear. - Coeficientes: são constantes (o coeficiente de
é e o de é , ambos constantes). - Homogeneidade: é não homogênea porque o lado direito
é diferente de zero.
Resumo: trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo (fonte) igual a um polinômio.
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada e explicar o processo:
Consideramos primeiro a equação homogênea
Consideramos primeiro a equação homogênea
Para EDOs lineares com coeficientes constantes, usamos a equação característica. Substituímos
(ideia: procurar soluções exponenciais), o que leva à equação característica
Resolvendo:
Quando as raízes são complexas conjugadas
com
e
, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. Aqui explicando: as exponenciais complexas se combinam em funções reais
e
porque
.
Passo 4
Explicação didática do método dos coeficientes indeterminados e quando usá-lo:
- Ideia: para uma EDO linear com coeficientes constantes e termo forçado (RHS) pertencente a uma classe “fechada” (polinômios, exponenciais, senos/cossenos, ou produtos desses), conseguimos supor um formato simples para uma solução particular
com coeficientes desconhecidos; depois substituímos na EDO e determinamos esses coeficientes comparando termos. - Regra prática: escolha
com a mesma forma do RHS (por exemplo, para polinômio de grau tente um polinômio de grau ). Se alguma das funções do palpite for solução da homogênea, multiplica-se o palpite por , onde é a multiplicidade da raiz correspondente da equação característica (isso evita “ressonância”). - No nosso caso o RHS é um polinômio
(grau 1), e as soluções homogêneas são e , que não são polinômios. Portanto não há ressonância e não precisamos multiplicar por .
Passo 5
Escolha do palpite para a solução particular e cálculo:
Como o RHS é um polinômio de grau 1, escolhemos o palpite
Como o RHS é um polinômio de grau 1, escolhemos o palpite
onde
e
são coeficientes indeterminados a determinar. Calculamos derivadas:
Substituímos na EDO:
Isto deve ser igual a
. Igualando coeficientes do polinômio (método padrão: comparar termos em
e termos constantes),
- coeficiente de
: , - termo constante:
.
Portanto obtemos
Passo 6
Formar a solução geral usando princípio da superposição:
Para EDO linear, a solução geral é soma da solução homogênea com uma particular:
Para EDO linear, a solução geral é soma da solução homogênea com uma particular:
onde
e
são constantes arbitrárias (determinar-se-iam por condições iniciais, se existissem).
Passo 7
Verificação explícita da solução (mostrar que satisfaz a EDO):
Tomemos . Suas derivadas são
Tomemos
Agora calcule
:
Os termos em
e
cancelam exatamente (porque a parte homogênea satisfaz
), restando
. Logo a solução verifica a equação dada — verificação completa.
Passo 8
Comentário final curto e incentivo:
Prontinho — a técnica aqui foi direta: homogênea com raízes complexas gerou seno e cosseno; RHS polinomial pediu palpite polinomial; não houve ressonância. Você já tem a solução geral e sabe como verificar. Vai dar certo na prova — respira fundo e treina mais uns exercícios parecidos!
Prontinho — a técnica aqui foi direta: homogênea com raízes complexas gerou seno e cosseno; RHS polinomial pediu palpite polinomial; não houve ressonância. Você já tem a solução geral e sabe como verificar. Vai dar certo na prova — respira fundo e treina mais uns exercícios parecidos!
Resposta
Classificação: EDO linear de segunda ordem, coeficientes constantes, não homogênea (termo forçado
).
Verificação: substituindo na EDO obtém-se
, portanto verifica.
Solução geral: .
Verificação: substituindo
Solução geral: