Classifique, verifique e determine a solução geral da EDO a seguir, aplicando o método da Eq. Auxiliar. Em seguida, determine a solução do Problema de Valor Inicial.
\begin{gathered} \frac{1}{16} x^{\prime \prime}+4 x=0 \\ x(0)=\frac{2}{3} \end{gathered} \quad x^{\prime}(0)=-\frac{4}{3}

Passo 1

O enunciado dá a seguinte equação diferencial com condição inicial:
\frac{1}{16}x'' + 4x = 0
com
x(0)=\frac{2}{3},\qquad x'(0)=-\frac{4}{3}.
As perguntas são: (i) classificar a equação; (ii) verificar e determinar a solução geral usando o método da equação auxiliar; (iii) resolver o problema de valor inicial (PVI) dado.

Passo 2

Classificação (explicação curta e clara): a equação é linear porque x e suas derivadas aparecem de forma linear (não multiplicadas entre si nem elevadas a potências), é homogênea porque o membro à direita é zero, é de 2^\text{a} ordem porque a maior derivada é x'', e tem coeficientes constantes (os coeficientes não dependem de t). Portanto é uma equação diferencial linear homogênea de 2^\text{a} ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

Simplificar a equação multiplicando por 16 (podemos multiplicar por constante não nula sem alterar soluções):
\frac{1}{16}x''+4x=0 \quad\Longrightarrow\quad x''+64x=0.
Isto é mais conveniente para aplicar o método da equação auxiliar.

Passo 4

Explicação do método da equação auxiliar (aula curtinha): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes da forma
x''+ax'+bx=0,
procuramos soluções do tipo x(t)=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação polinomial (equação característica)
r^2 + ar + b = 0.
As raízes r dessa equação determinam a forma da solução geral:
  • se as raízes r_1,r_2 são reais e distintas: x(t)=C_1e^{r_1t}+C_2e^{r_2t};
  • se são reais e iguais r: x(t)=(C_1 + C_2 t)e^{rt};
  • se são complexas conjugadas r=a\pm bi: x(t)=e^{at}\big(C_1\cos(bt)+C_2\sin(bt)\big).
    Aqui C_1,C_2 são constantes reais determinadas pelas condições iniciais. Essa forma vem de escrever e^{(a\pm ib)t}=e^{at}(\cos bt\pm i\sin bt) e combinar partes reais e imaginárias.

Passo 5

Aplicando o método à nossa equação x''+64x=0: a equação auxiliar é
r^2+64=0.
Resolvendo:
r^2=-64 \quad\Longrightarrow\quad r=\pm 8i.

Passo 6

Como as raízes são complexas conjugadas 0\pm 8i (ou seja, a=0 e b=8), a forma geral da solução é
x(t)=e^{0\cdot t}\big(C_1\cos(8t)+C_2\sin(8t)\big)=C_1\cos(8t)+C_2\sin(8t),
onde C_1 e C_2 são constantes reais. Aqui explico cada símbolo: C_1,C_2 constantes arbitrárias; \cos(8t) e \sin(8t) são as funções trigonométricas com frequência angular 8.

Passo 7

Agora usamos as condições iniciais para determinar C_1 e C_2. Primeiro avalio x(0):
x(0)=C_1\cos(0)+C_2\sin(0)=C_1\cdot 1 + C_2\cdot 0 = C_1.
Pelo enunciado x(0)=\dfrac{2}{3}. Logo
C_1=\frac{2}{3}.

Passo 8

Calculo x'(t) para usar x'(0). Diferenciando x(t)=C_1\cos(8t)+C_2\sin(8t) (lembrando que \frac{d}{dt}\cos(8t)=-8\sin(8t) e \frac{d}{dt}\sin(8t)=8\cos(8t)):
x'(t)=-8C_1\sin(8t)+8C_2\cos(8t).
Agora avalio em t=0:
x'(0)=-8C_1\sin(0)+8C_2\cos(0)=0 + 8C_2 = 8C_2.
Pelo enunciado x'(0)=-\dfrac{4}{3}. Logo
8C_2 = -\frac{4}{3} \quad\Longrightarrow\quad C_2 = -\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{8} = -\frac{4}{24} = -\frac{1}{6}.

Passo 9

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral obtemos a solução particular (solução do PVI):
x(t)=\frac{2}{3}\cos(8t)-\frac{1}{6}\sin(8t).
Isso responde a parte do PVI.

Passo 10

Verificação rápida (cheia de carinho): calcule x''(t) a partir da solução geral para ver que a equação é satisfeita. Diferenciando x'(t)=-8C_1\sin(8t)+8C_2\cos(8t) obtemos
x''(t)=-64C_1\cos(8t)-64C_2\sin(8t)=-64\big(C_1\cos(8t)+C_2\sin(8t)\big)=-64x(t).
Então x''+64x= -64x +64x = 0. Assim a solução encontrada satisfaz a equação. Com os C_1,C_2 específicos acima, também satisfaz as condições iniciais (já usamos isso para determinar as constantes).

Resposta

Classificação: equação diferencial linear homogênea de 2^\text{a} ordem com coeficientes constantes.
Solução geral: x(t)=C_{1}\cos(8t)+C_{2}\sin(8t), C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.
Solução do PVI: x(t)=\dfrac{2}{3}\cos(8t)-\dfrac{1}{6}\sin(8t).

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