Classifique, verifique e determine a solução geral da EDO a seguir, aplicando o método da Eq. Auxiliar. Em seguida, determine a solução do Problema de Valor Inicial.
Passo 1
O enunciado dá a seguinte equação diferencial com condição inicial:
com
As perguntas são: (i) classificar a equação; (ii) verificar e determinar a solução geral usando o método da equação auxiliar; (iii) resolver o problema de valor inicial (PVI) dado.
Passo 2
Classificação (explicação curta e clara): a equação é linear porque
e suas derivadas aparecem de forma linear (não multiplicadas entre si nem elevadas a potências), é homogênea porque o membro à direita é zero, é de
ordem porque a maior derivada é
, e tem coeficientes constantes (os coeficientes não dependem de
). Portanto é uma equação diferencial linear homogênea de
ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Simplificar a equação multiplicando por
(podemos multiplicar por constante não nula sem alterar soluções):
Isto é mais conveniente para aplicar o método da equação auxiliar.
Passo 4
Explicação do método da equação auxiliar (aula curtinha): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes da forma
procuramos soluções do tipo
. Substituindo obtemos a equação polinomial (equação característica)
As raízes
dessa equação determinam a forma da solução geral:
- se as raízes
são reais e distintas: ; - se são reais e iguais
: ; - se são complexas conjugadas
: .
Aquisão constantes reais determinadas pelas condições iniciais. Essa forma vem de escrever e combinar partes reais e imaginárias.
Passo 5
Aplicando o método à nossa equação
: a equação auxiliar é
Resolvendo:
Passo 6
Como as raízes são complexas conjugadas
(ou seja,
e
), a forma geral da solução é
onde
e
são constantes reais. Aqui explico cada símbolo:
constantes arbitrárias;
e
são as funções trigonométricas com frequência angular
.
Passo 7
Agora usamos as condições iniciais para determinar
e
. Primeiro avalio
:
Pelo enunciado
. Logo
Passo 8
Calculo
para usar
. Diferenciando
(lembrando que
e
):
Agora avalio em
:
Pelo enunciado
. Logo
Passo 9
Substituindo
e
na solução geral obtemos a solução particular (solução do PVI):
Isso responde a parte do PVI.
Passo 10
Verificação rápida (cheia de carinho): calcule
a partir da solução geral para ver que a equação é satisfeita. Diferenciando
obtemos
Então
. Assim a solução encontrada satisfaz a equação. Com os
específicos acima, também satisfaz as condições iniciais (já usamos isso para determinar as constantes).
Resposta
Classificação: equação diferencial linear homogênea de
ordem com coeficientes constantes.
Solução geral:
,
.
Solução do PVI:
.