Classifique, verifique e determine a solução geral da EDO a seguir, aplicando o método dos Coeficientes Indeterminados.
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a equação
- Classificar a equação (que tipo ela é).
- Verificar (ou seja, checar) que a solução particular encontrada realmente satisfaz a equação.
- Determinar a solução geral, usando o método dos Coeficientes Indeterminados.
Informações dadas: a equação diferencial é explicitamentecom termo fonte constante igual a .
Passo 2
Classificação passo a passo (sem resolver ainda):
- É uma equação diferencial ordinária (uma única variável independente, normalmente
). - A ordem é
porque aparece . - É linear porque
, e aparecem de forma linear (não há produtos ou potências de ou suas derivadas). - Tem coeficientes constantes (os coeficientes são números:
para e para ). - É não homogênea (pois o membro direito não é zero; é a constante
).
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada (esta parte constrói a solução complementar). A homogênea é
Método: suponha solução do tipo exponencial
. Substituindo obtemos a equação característica
Resolver
dá
Quando as raízes são complexas conjugadas
(aqui
), a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. Explicando rápido:
, e as combinações reais geram
e
.
Passo 4
Explicar o método dos Coeficientes Indeterminados e escolher um palpite para a solução particular
.
- Regra prática: quando o termo do lado direito é um polinômio, exponencial, seno/cosseno ou combinação simples, tentamos uma forma semelhante com coeficientes desconhecidos.
- Aqui o termo do lado direito é a constante
, isto é um polinômio de grau . Então o palpite mais simples é assumir como uma constante:
onde
é constante desconhecida a determinar.
- Antes de substituir, verificar ressonância: se a forma proposta já fosse solução da homogênea, haveria ressonância e teríamos de multiplicar o palpite por
. Aqui a homogênea não possui solução constante (pois e não são constantes), então não há ressonância e é adequado.
Passo 5
Determinar
substituindo
na equação original. Calcule derivadas de
:
Substituindo em
obtemos
Logo
Assim a solução particular é
Passo 6
Verificação explícita: substituir
na equação para checar.
-
e . - Portanto
, que coincide com o termo do lado direito. Logo a verificação está satisfeita.
Passo 7
Construir a solução geral somando a solução complementar e a particular. Assim:
com
constantes arbitrárias. Essa é a família de todas as soluções da EDO dada.
Resposta
Classificação: equação diferencial ordinária linear de ordem
, coeficientes constantes, não homogênea (termo forçante constante
).
Solução geral: .
Verificação: para temos
, portanto
satisfaz a equação.
Solução geral:
Verificação: para