Classifique, verifique e determine a solução geral da EDO a seguir, aplicando o método dos Coeficientes Indeterminados.
y^{\prime \prime}+9 y=27

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a equação
y^{\prime\prime}+9y=27:
  • Classificar a equação (que tipo ela é).
  • Verificar (ou seja, checar) que a solução particular encontrada realmente satisfaz a equação.
  • Determinar a solução geral, usando o método dos Coeficientes Indeterminados.
    Informações dadas: a equação diferencial é explicitamente \;y^{\prime\prime}+9y=27\; com termo fonte constante igual a 27.

Passo 2

Classificação passo a passo (sem resolver ainda):
  • É uma equação diferencial ordinária (uma única variável independente, normalmente x).
  • A ordem é 2 porque aparece y^{\prime\prime}.
  • É linear porque y, y' e y'' aparecem de forma linear (não há produtos ou potências de y ou suas derivadas).
  • Tem coeficientes constantes (os coeficientes são números: 1 para y'' e 9 para y).
  • É não homogênea (pois o membro direito não é zero; é a constante 27).

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada (esta parte constrói a solução complementar). A homogênea é
y^{\prime\prime}+9y=0.
Método: suponha solução do tipo exponencial \;y=e^{rx}\;. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}+9=0.
Resolver r^{2}+9=0
r^{2}=-9\quad\Rightarrow\quad r=\pm 3i.
Quando as raízes são complexas conjugadas a\pm bi (aqui a=0,\;b=3), a solução geral da homogênea é
y_{c}(x)=C_{1}\cos(3x)+C_{2}\sin(3x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Explicando rápido: e^{(0+3i)x}=e^{0x}(\cos 3x+i\sin 3x), e as combinações reais geram \cos e \sin.

Passo 4

Explicar o método dos Coeficientes Indeterminados e escolher um palpite para a solução particular y_{p}.
  • Regra prática: quando o termo do lado direito é um polinômio, exponencial, seno/cosseno ou combinação simples, tentamos uma forma semelhante com coeficientes desconhecidos.
  • Aqui o termo do lado direito é a constante 27, isto é um polinômio de grau 0. Então o palpite mais simples é assumir y_{p} como uma constante:
y_{p}(x)=A,
onde A é constante desconhecida a determinar.
  • Antes de substituir, verificar ressonância: se a forma proposta já fosse solução da homogênea, haveria ressonância e teríamos de multiplicar o palpite por x. Aqui a homogênea não possui solução constante (pois \cos(3x) e \sin(3x) não são constantes), então não há ressonância e y_{p}=A é adequado.

Passo 5

Determinar A substituindo y_{p} na equação original. Calcule derivadas de y_{p}:
y_{p}'(x)=0,\qquad y_{p}''(x)=0.
Substituindo em \;y^{\prime\prime}+9y=27\; obtemos
0 + 9A = 27.
Logo
9A=27\quad\Rightarrow\quad A=3.
Assim a solução particular é
y_{p}(x)=3.

Passo 6

Verificação explícita: substituir y_{p}=3 na equação para checar.
  • y_{p}''=0 e 9y_{p}=9\cdot 3=27.
  • Portanto y_{p}''+9y_{p}=0+27=27, que coincide com o termo do lado direito. Logo a verificação está satisfeita.

Passo 7

Construir a solução geral somando a solução complementar e a particular. Assim:
y(x)=y_{c}(x)+y_{p}(x)=C_{1}\cos(3x)+C_{2}\sin(3x)+3,
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias. Essa é a família de todas as soluções da EDO dada.

Resposta

Classificação: equação diferencial ordinária linear de ordem 2, coeficientes constantes, não homogênea (termo forçante constante 27).
Solução geral: \;y(x)=C_{1}\cos(3x)+C_{2}\sin(3x)+3.
Verificação: para y_{p}=3 temos y_{p}''+9y_{p}=0+27=27, portanto y_{p} satisfaz a equação.

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