Classifique, verifique e determine a solução geral da EDO a seguir, aplicando o método dos Coeficientes Indeterminados.
y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=x^{2}+2 x-1+e^{x}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
y''+y'+y = x^{2}+2x-1+e^{x}
e pede três coisas: (i) classificar a equação, (ii) verificar (no sentido de aplicar e checar o método pedido) e (iii) determinar a solução geral usando o método dos coeficientes indeterminados.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: o lado esquerdo é uma combinação linear de y, y' e y'' com coeficientes constantes; o membro direito é a soma de um polinômio de grau 2 e de uma exponencial e^{x}. A solução geral deve reunir a solução da homogênea e uma solução particular adequada ao membro não-homogêneo.

Passo 2

Encontrar a solução geral da homogênea associada. Primeiro escrevemos a equação homogênea:
y''+y'+y=0.
No método padrão para equações lineares de coeficientes constantes, tentamos solução do tipo y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica em r:
r^{2}+r+1=0.
Resolvendo a equação quadrática usamos a fórmula de Bhaskara:
r=\frac{-1\pm\sqrt{1-4}}{2}=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}.
Aqui aparecem raízes complexas conjugadas. Se escrevemos
r_{1,2}=\alpha\pm i\beta,
então a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=e^{\alpha x}\big(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\big).
No nosso caso \alpha=-\tfrac{1}{2} e \beta=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Logo a solução homogênea é
y_{h}(x)=e^{-x/2}\big(C_{1}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Escolher um Ansatz (chute) para a solução particular \,y_{p}\, pelo método dos coeficientes indeterminados. Explico a ideia: decompomos o membro direito em termos básicos (polinômios, exponenciais, senos/cossenos) e para cada termo escolhemos uma forma de y_{p} parecida com esse termo, com coeficientes a determinar. Se a forma escolhida coincide com uma solução da homogênea (ressonância), multiplicamos por x^{s} onde s é o menor inteiro que elimina a coincidência.
No nosso caso o membro direito é a soma de um polinômio de grau 2, x^{2}+2x-1, e de e^{x}. Para o polinômio de grau 2 é natural tentar um polinômio de grau 2:
y_{p1}(x)=Ax^{2}+Bx+C,
com A,B,C a determinar. Para o termo e^{x} geralmente tentamos
y_{p2}(x)=De^{x},
com D a determinar. Antes de aceitar De^{x} precisamos checar se e^{x} está ligado a uma raiz da equação característica (ressonância). A raiz associada a e^{ax} é r=a. Aqui a=1; verificar se r=1 é raiz de r^{2}+r+1. Substituindo:
1^{2}+1+1=3\neq0,
logo r=1 não é raiz e não existe ressonância: o chute De^{x} é válido sem multiplicar por x.
Portanto adotamos o Ansatz completo
y_{p}(x)=Ax^{2}+Bx+C+De^{x}.

Passo 4

Calcular as derivadas de [y_{p}) e substituir na equação para determinar A,B,C,D.
Derivadas:
y_{p}'(x)=2Ax+B+De^{x},
y_{p}''(x)=2A+De^{x}.
Somando y_{p}''+y_{p}'+y_{p} obtemos (separando parte polinomial e parte exponencial):
  • Parte polinomial:
    • coeficiente de x^{2}: A (vem só de y_{p}),
    • coeficiente de x: 2A+B (vem de y_{p}' e de y_{p}),
    • termo constante: 2A+B+C (vem de y_{p}'', y_{p}' e y_{p}).
  • Parte exponencial:
    • somando as três contribuições De^{x}+De^{x}+De^{x}=3D e^{x}.
Portanto
y_{p}''+y_{p}'+y_{p}=Ax^{2}+(2A+B)x+(2A+B+C)+3D e^{x}.
Esse resultado deve ser igual ao membro direito
x^{2}+2x-1+e^{x}.
Igualando coeficientes do polinômio e do exponencial obtemos o sistema:
\begin{cases} A=1,\\[4pt] 2A+B=2,\\[4pt] 2A+B+C=-1,\\[4pt] 3D=1. \end{cases}
Agora resolvemos em sequência:
  • De A=1\] obtemos \(A=1.
  • Substituindo em 2A+B=2 2\cdot1+B=2\Rightarrow B=0.
  • Em 2A+B+C=-1 temos 2\cdot1+0+C=-1\Rightarrow C=-3.
  • De 3D=1 obtemos D=\tfrac{1}{3}.
Assim a solução particular é
y_{p}(x)=x^{2}+0\cdot x-3+\tfrac{1}{3}e^{x}=x^{2}-3+\tfrac{1}{3}e^{x}.]

Passo 5

Formar a solução geral somando homogênea e particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x).
Substituindo as fórmulas obtidas:
y(x)=e^{-x/2}\big(C_{1}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)\big)+x^{2}-3+\tfrac{1}{3}e^{x},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.
Se quiser verificar rapidamente: substituir essa y na equação retorna, por construção, o membro direito; a parte polinomial providencia x^{2}+2x-1 e a parte exponencial produz e^{x} (visto que a contribuição total de De^{x} foi 3D e^{x}=e^{x} para D=1/3).

Resposta

EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, não homogênea (termo fonte \,x^{2}+2x-1+e^{x}\,).
y(x)=e^{-x/2}\big(C_{1}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)\big)+x^{2}-3+\tfrac{1}{3}e^{x}

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