Classifique, verifique e determine a solução geral da EDO a seguir, aplicando o método dos Coeficientes Indeterminados.
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+16 x=5

Passo 1

O enunciado pede três coisas: classificar a equação, verificar a solução e determinar a solução geral da EDO dada. A equação fornecida é:
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+16 x=5
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A equação envolve a função x(t) e suas derivadas até segunda ordem.
  • O termo do lado direito é a constante 5.
  • Não foram fornecidas condições iniciais (logo a solução geral deve conter constantes arbitrárias).
  • O enunciado pede explicitamente para usar o método dos Coeficientes Indeterminados.

Passo 2

Explicando o método dos Coeficientes Indeterminados (de forma prática e amigável): a ideia é escrever a solução como soma de duas partes:
  1. uma solução da equação homogênea associada (onde o lado direito é zero), chamada x_h(t);
  2. uma solução particular x_p(t) que “compense” o termo não homogêneo (aqui o 5).
Por que isso funciona? Porque a equação é linear: qualquer soma de uma solução homogênea com uma solução particular é solução da equação completa. No método, escolhemos uma forma para x_p(t) segundo o tipo do termo forçante (constante, polinômio, exponencial, seno/cosseno etc.) e determinamos coeficientes desconhecidos substituindo na equação.
Observação importante (ressonância): se a forma escolhida para x_p for solução da homogênea, é preciso multiplicar por t até eliminar a colisão. Aqui o forçante é constante; vamos checar se constantes aparecem na solução homogênea mais adiante.

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada:
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+16 x=0.
Aplicamos a técnica padrão: procurar soluções da forma x(t)=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}+16=0.
As raízes são
r=\pm 4i.
Quando as raízes são puramente imaginárias \pm \omega i, a solução geral da homogênea é combinação de cosseno e seno com frequência \omega. Aqui \omega=4, então
x_h(t)=C_1\cos(4t)+C_2\sin(4t),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Note que constantes (função constante) não aparecem em x_h; portanto não há ressonância com o forçante constante.

Passo 4

Escolha da forma para a solução particular x_p(t). Como o lado direito é a constante 5, tentamos uma solução particular constante:
x_p(t)=A,
onde A é um coeficiente indeterminado a determinar. Agora calculamos as derivadas e substituímos na equação original.
Derivadas de x_p:
\frac{d x_p}{d t}=0,\qquad \frac{d^{2} x_p}{d t^{2}}=0.
Substituindo em \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+16x=5 obtemos
0 + 16A = 5.
Logo
A=\frac{5}{16}.
Portanto a solução particular escolhida é
x_p(t)=\frac{5}{16}.

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com a solução particular:
x(t)=x_h(t)+x_p(t)=C_1\cos(4t)+C_2\sin(4t)+\frac{5}{16},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais, se existirem.

Passo 6

Verificação explícita (substituir a solução geral na EDO para conferir que satisfaz a equação). Começamos calculando a segunda derivada de x(t):
x(t)=C_1\cos(4t)+C_2\sin(4t)+\frac{5}{16},
\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-16C_1\cos(4t)-16C_2\sin(4t)+0.
Agora somamos \frac{d^{2}x}{dt^{2}}+16x:
\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+16x = \bigl(-16C_1\cos(4t)-16C_2\sin(4t)\bigr) + 16\bigl(C_1\cos(4t)+C_2\sin(4t)+\tfrac{5}{16}\bigr).
Os termos com \cos e \sin cancelam, sobrando
\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+16x = 16\cdot \frac{5}{16} = 5.
Isso confirma que a solução encontrada satisfaz exatamente a equação dada.

Passo 7

Resumo final e observações de prova (dicas rápidas para a hora da prova):
  • Identifique rapidamente ordem e tipo (aqui, 2ª ordem, linear, coeficientes constantes, não homogênea).
  • Resolva a homogênea via equação característica para obter cosseno/seno se aparecerem raízes imaginárias.
  • Escolha x_p de acordo com o forçante (constante → tente constante; polinômio de grau n → polinômio de grau n; exponencial e^{\alpha t} Ae^{\alpha t}; seno/cosseno → combinação A\cos+ B\sin).
  • Cheque ressonância: se a forma de x_p estiver na solução homogênea, multiplique por t adequadamente.
  • Substitua para determinar os coeficientes e sempre verifique no final.
Vai dar certo — manda bala na prova!

Resposta

Classificação: EDO de segunda ordem, linear, com coeficientes constantes, não homogênea (termo forçante constante).
Verificação: Substituindo x(t)=C_1\cos(4t)+C_2\sin(4t)+\tfrac{5}{16} na EDO obtém-se 5=5, logo satisfeita.
Solução geral: x(t)=C_1\cos(4t)+C_2\sin(4t)+\dfrac{5}{16}.

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