Classifique, verifique e determine a solução geral da EDO a seguir, aplicando o método dos Coeficientes Indeterminados.
Passo 1
O enunciado pede três coisas: classificar a equação, verificar a solução e determinar a solução geral da EDO dada. A equação fornecida é:
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A equação envolve a função
e suas derivadas até segunda ordem. - O termo do lado direito é a constante
. - Não foram fornecidas condições iniciais (logo a solução geral deve conter constantes arbitrárias).
- O enunciado pede explicitamente para usar o método dos Coeficientes Indeterminados.
Passo 2
Explicando o método dos Coeficientes Indeterminados (de forma prática e amigável): a ideia é escrever a solução como soma de duas partes:
- uma solução da equação homogênea associada (onde o lado direito é zero), chamada
; - uma solução particular
que “compense” o termo não homogêneo (aqui o ).
Por que isso funciona? Porque a equação é linear: qualquer soma de uma solução homogênea com uma solução particular é solução da equação completa. No método, escolhemos uma forma para
segundo o tipo do termo forçante (constante, polinômio, exponencial, seno/cosseno etc.) e determinamos coeficientes desconhecidos substituindo na equação.
Observação importante (ressonância): se a forma escolhida para
for solução da homogênea, é preciso multiplicar por
até eliminar a colisão. Aqui o forçante é constante; vamos checar se constantes aparecem na solução homogênea mais adiante.
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada:
Aplicamos a técnica padrão: procurar soluções da forma
. Substituindo obtemos a equação característica
As raízes são
Quando as raízes são puramente imaginárias
, a solução geral da homogênea é combinação de cosseno e seno com frequência
. Aqui
, então
onde
e
são constantes arbitrárias. Note que constantes (função constante) não aparecem em
; portanto não há ressonância com o forçante constante.
Passo 4
Escolha da forma para a solução particular
. Como o lado direito é a constante
, tentamos uma solução particular constante:
onde
é um coeficiente indeterminado a determinar. Agora calculamos as derivadas e substituímos na equação original.
Derivadas de
:
Substituindo em
obtemos
Logo
Portanto a solução particular escolhida é
Passo 5
A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com a solução particular:
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais, se existirem.
Passo 6
Verificação explícita (substituir a solução geral na EDO para conferir que satisfaz a equação). Começamos calculando a segunda derivada de
:
Agora somamos
:
Os termos com
e
cancelam, sobrando
Isso confirma que a solução encontrada satisfaz exatamente a equação dada.
Passo 7
Resumo final e observações de prova (dicas rápidas para a hora da prova):
- Identifique rapidamente ordem e tipo (aqui, 2ª ordem, linear, coeficientes constantes, não homogênea).
- Resolva a homogênea via equação característica para obter cosseno/seno se aparecerem raízes imaginárias.
- Escolha
de acordo com o forçante (constante → tente constante; polinômio de grau → polinômio de grau ; exponencial → ; seno/cosseno → combinação ). - Cheque ressonância: se a forma de
estiver na solução homogênea, multiplique por adequadamente. - Substitua para determinar os coeficientes e sempre verifique no final.
Vai dar certo — manda bala na prova!
Resposta
Classificação: EDO de segunda ordem, linear, com coeficientes constantes, não homogênea (termo forçante constante).
Verificação: Substituindo na EDO obtém-se
, logo satisfeita.
Solução geral: .
Verificação: Substituindo
Solução geral: