Classifique, verifique e determine a solução geral da EDO a seguir, aplicando o método dos Coeficientes Indeterminados.
Passo 1
O enunciado pede três coisas: classificar a equação, verificar o que for preciso e determinar a solução geral usando o método dos Coeficientes Indeterminados. A EDO dada é
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Trata‑se de uma equação envolvendo
, e . - Os coeficientes dos termos com
, e são constantes ( e ). - O termo do lado direito (forçamento) é a função
.
As perguntas concretas que vamos responder: (i) qual é a classificação da EDO (ordem, linearidade, tipo de coeficientes, homogênea/ não homogênea); (ii) verificar por que o método dos Coeficientes Indeterminados é aplicável; (iii) encontrar a solução geral.
Passo 2
Classificação e verificação preliminar:
- Ordem: é de segunda ordem, pois o termo de maior derivada é
(ordem ). - Linearidade: é linear, porque
, e aparecem apenas de forma linear (não há produtos ou funções não lineares de ). - Coeficientes: são constantes (coeficientes numéricos fixos).
- Homogeneidade: é não homogênea (ou inhomogênea), pois há um termo independente de
no lado direito, .
Verificação da aplicabilidade do método dos Coeficientes Indeterminados: - Esse método é aplicável quando o termo da direita é de forma “simples” como exponenciais
, polinômios, senos/cossenos ou combinações desses. Aqui temos , que é exatamente uma função do tipo exponencial, logo o método é aplicável. - Observação importante (ressonância): se
já aparecesse na solução homogênea, precisaríamos multiplicar o palpite por uma potência de . Vamos verificar isso mais adiante.
Passo 3
Breve explicação didática do método dos Coeficientes Indeterminados (sem pular etapas):
- Ideia: procuramos a solução geral como soma da solução da homogênea
e de uma solução particular :
-
é solução da equação homogênea associada (lado direito zero). - Para
fazemos um “palpite” (ansatz) cuja forma é similar ao termo forçante (aqui, algo multiplicando ). Introduzimos constantes desconhecidas nesse palpite e determinamos essas constantes substituindo o palpite na EDO. - Regra de ressonância: se o palpite coincide com alguma solução da homogênea, multiplicamos o palpite por
, onde é a multiplicidade do valor característico correspondente, para obter um palpite independente da homogênea.
Passo 4
Encontrar a solução homogênea
:
- Escrevemos a equação homogênea associada:
- Procuramos soluções do tipo
. Substituindo obtemos o polinômio característico
- Calculamos as raízes:
- Para uma raiz real
de multiplicidade , a forma geral da solução homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Escolher o palpite para a solução particular
e explicar a escolha:
- O termo forçante é
, isto é, exponencial com . - Verificamos ressonância: a raiz característica da homogênea é
, diferente de . Portanto não há ressonância; não precisamos multiplicar por potências de . - Assim, fazemos o palpite mais simples do tipo exponencial:
onde
é uma constante indeterminada a ser encontrada.
Passo 6
Calcular
,
e determinar
:
- Derivadas de
:
(Aqui usamos a regra da derivada de
:
.)
- Substituímos na equação original o palpite e suas derivadas:
- Simplificamos:
- Esse resultado deve ser igual ao forçamento
. Logo
- Como
não é identicamente zero, podemos dividir por e obter
- Portanto a solução particular é
Passo 7
Construir a solução geral e verificar rapidamente:
- A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
- Verificação rápida (por linearidade):
porque resolve a homogênea; por construção do palpite e cálculo de . Assim , então a solução geral está correta.