Classifique, verifique e determine a solução geral da EDO a seguir, aplicando o método dos Coeficientes Indeterminados.
y^{\prime \prime}(x)-2 y^{\prime}(x)+y(x)=e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede três coisas: classificar a equação, verificar o que for preciso e determinar a solução geral usando o método dos Coeficientes Indeterminados. A EDO dada é
y''(x)-2y'(x)+y(x)=e^{-x}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Trata‑se de uma equação envolvendo y(x), y'(x) e y''(x).
  • Os coeficientes dos termos com y, y' e y'' são constantes ( -2 e 1).
  • O termo do lado direito (forçamento) é a função \,e^{-x}\,.
    As perguntas concretas que vamos responder: (i) qual é a classificação da EDO (ordem, linearidade, tipo de coeficientes, homogênea/ não homogênea); (ii) verificar por que o método dos Coeficientes Indeterminados é aplicável; (iii) encontrar a solução geral.

Passo 2

Classificação e verificação preliminar:
  • Ordem: é de segunda ordem, pois o termo de maior derivada é y''(x) (ordem 2).
  • Linearidade: é linear, porque y, y' e y'' aparecem apenas de forma linear (não há produtos ou funções não lineares de y).
  • Coeficientes: são constantes (coeficientes numéricos fixos).
  • Homogeneidade: é não homogênea (ou inhomogênea), pois há um termo independente de y no lado direito, \,e^{-x}\,.
    Verificação da aplicabilidade do método dos Coeficientes Indeterminados:
  • Esse método é aplicável quando o termo da direita é de forma “simples” como exponenciais e^{ax}, polinômios, senos/cossenos ou combinações desses. Aqui temos \,e^{-x}\,, que é exatamente uma função do tipo exponencial, logo o método é aplicável.
  • Observação importante (ressonância): se e^{ax} já aparecesse na solução homogênea, precisaríamos multiplicar o palpite por uma potência de x. Vamos verificar isso mais adiante.

Passo 3

Breve explicação didática do método dos Coeficientes Indeterminados (sem pular etapas):
  • Ideia: procuramos a solução geral como soma da solução da homogênea y_h e de uma solução particular y_p:
y(x)=y_h(x)+y_p(x).
  • y_h é solução da equação homogênea associada (lado direito zero).
  • Para y_p fazemos um “palpite” (ansatz) cuja forma é similar ao termo forçante (aqui, algo multiplicando e^{-x}). Introduzimos constantes desconhecidas nesse palpite e determinamos essas constantes substituindo o palpite na EDO.
  • Regra de ressonância: se o palpite coincide com alguma solução da homogênea, multiplicamos o palpite por x^s, onde s é a multiplicidade do valor característico correspondente, para obter um palpite independente da homogênea.

Passo 4

Encontrar a solução homogênea y_h:
  • Escrevemos a equação homogênea associada:
y''-2y'+y=0.
  • Procuramos soluções do tipo y=e^{rx}. Substituindo obtemos o polinômio característico
r^2-2r+1=0.
  • Calculamos as raízes:
r^2-2r+1=(r-1)^2=0\quad\Rightarrow\quad r=1\text{ com multiplicidade }2.
  • Para uma raiz real r=1 de multiplicidade 2, a forma geral da solução homogênea é
y_h(x)=\big(C_1+C_2 x\big)e^{x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 5

Escolher o palpite para a solução particular y_p e explicar a escolha:
  • O termo forçante é \,e^{-x}\,, isto é, exponencial com a=-1.
  • Verificamos ressonância: a raiz característica da homogênea é r=1, diferente de -1. Portanto não há ressonância; não precisamos multiplicar por potências de x.
  • Assim, fazemos o palpite mais simples do tipo exponencial:
y_p(x)=A e^{-x},
onde A é uma constante indeterminada a ser encontrada.

Passo 6

Calcular y_p', y_p'' e determinar A:
  • Derivadas de y_p:
y_p'(x) = -A e^{-x},
y_p''(x) = A e^{-x}.
(Aqui usamos a regra da derivada de e^{kx}: \dfrac{d}{dx}e^{kx}=k e^{kx}.)
  • Substituímos na equação original o palpite e suas derivadas:
y_p''-2y_p'+y_p = A e^{-x} -2(-A e^{-x}) + A e^{-x}.
  • Simplificamos:
A e^{-x} + 2A e^{-x} + A e^{-x} = 4A e^{-x}.
  • Esse resultado deve ser igual ao forçamento \,e^{-x}\,. Logo
4A e^{-x} = e^{-x}.
  • Como e^{-x} não é identicamente zero, podemos dividir por e^{-x} e obter
4A = 1 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{4}.
  • Portanto a solução particular é
y_p(x)=\frac{1}{4}e^{-x}.

Passo 7

Construir a solução geral e verificar rapidamente:
  • A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=\big(C_1+C_2 x\big)e^{x}+\frac{1}{4}e^{-x}.
  • Verificação rápida (por linearidade): L[y_h]=0 porque y_h resolve a homogênea; L[y_p]=e^{-x} por construção do palpite e cálculo de A. Assim L[y]=L[y_h]+L[y_p]=0+e^{-x}=e^{-x}, então a solução geral está correta.

Resposta

y(x)=\big(C_1+C_2 x\big)e^{x}+\frac{1}{4}e^{-x}

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