Classifique, verifique e determine a solução geral da EDO a seguir, aplicando o método dos Coeficientes Indeterminados.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede: (1) classificar a EDO; (2) verificar (isto é, checar que a solução particular encontrada realmente satisfaz a equação); (3) determinar a solução geral usando o método dos coeficientes indeterminados.
Informações relevantes fornecidas: é uma EDO de segunda ordem, o lado esquerdo tem coeficientes constantes e o termo não-homogêneo é .
Informações relevantes fornecidas: é uma EDO de segunda ordem, o lado esquerdo tem coeficientes constantes e o termo não-homogêneo é
Passo 2
Resolver primeiro a equação homogênea associada. Escrevemos a homogênea:
A técnica padrão aqui é tentar
. Isso leva à equação característica
Resolvendo essa quadrática:
logo há uma raiz dupla
de multiplicidade
. Quando a raiz
é de multiplicidade
, as soluções independentes da homogênea são
e
. Portanto a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Explicando o método dos coeficientes indeterminados (de forma simples): se o termo não-homogêneo tem a forma
(com
um polinômio de grau
), tenta-se uma solução particular da forma
onde
é a multiplicidade da raiz
na equação característica e
é um polinômio de mesmo grau
com coeficientes indeterminados. No nosso caso o termo não-homogêneo é
com
(grau
), e
é raiz de multiplicidade
. Assim devemos multiplicar por
. Portanto fazemos o palpite (ansatz)
onde
é constante a determinar.
Passo 4
Calcular
e
com cuidado (derivação por produto):
Derivando uma vez:
Derivando de novo:
Fatorando
:
Passo 5
Substituir
,
e
no lado esquerdo da EDO:
Fatorando
e somando termos semelhantes:
Portanto
Para que isso seja igual ao termo não-homogêneo
, precisamos de
, ou seja
. Logo
Assim a solução particular é
Passo 6
Combinar a solução homogênea com a particular para obter a solução geral:
Podemos fatorar
se quiser:
Passo 7
Verificação (resumida): já mostramos algebraicamente que, para
, o operador linear aplicado a
dá
. Com
obtemos exatamente o lado direito da EDO, portanto
é uma solução particular. Como adicionamos a solução geral da homogênea, a expressão encontrada é a solução geral da equação não-homogênea.
Resposta
Classificação: EDO linear de segunda ordem, coeficientes constantes e não-homogênea (termo forçante
).
Verificação: a solução particular satisfaz
.
Solução geral: .
Verificação: a solução particular
Solução geral: