Classifique, verifique e determine a solução geral da EDO a seguir, aplicando o método dos Coeficientes Indeterminados.
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=e^{2 x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+4y=e^{2x}
e pede: (1) classificar a EDO; (2) verificar (isto é, checar que a solução particular encontrada realmente satisfaz a equação); (3) determinar a solução geral usando o método dos coeficientes indeterminados.
Informações relevantes fornecidas: é uma EDO de segunda ordem, o lado esquerdo tem coeficientes constantes e o termo não-homogêneo é \,e^{2x}\,.

Passo 2

Resolver primeiro a equação homogênea associada. Escrevemos a homogênea:
y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+4y=0.
A técnica padrão aqui é tentar y=e^{rx}. Isso leva à equação característica
r^{2}-4r+4=0.
Resolvendo essa quadrática:
r^{2}-4r+4=(r-2)^{2}=0,
logo há uma raiz dupla \,r=2 de multiplicidade 2. Quando a raiz r=\alpha é de multiplicidade 2, as soluções independentes da homogênea são e^{\alpha x} e x e^{\alpha x}. Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}=(C_{1}+C_{2}x)\,e^{2x},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Explicando o método dos coeficientes indeterminados (de forma simples): se o termo não-homogêneo tem a forma \,P_{m}(x)e^{\alpha x}\, (com P_{m} um polinômio de grau m), tenta-se uma solução particular da forma
y_{p}=x^{k}Q_{m}(x)e^{\alpha x},
onde k é a multiplicidade da raiz \alpha na equação característica e Q_{m} é um polinômio de mesmo grau m com coeficientes indeterminados. No nosso caso o termo não-homogêneo é \,e^{2x}=P_{0}(x)e^{2x} com P_{0}(x)=1 (grau m=0), e \alpha=2 é raiz de multiplicidade k=2. Assim devemos multiplicar por x^{2}. Portanto fazemos o palpite (ansatz)
y_{p}=A x^{2} e^{2x},
onde A é constante a determinar.

Passo 4

Calcular y_{p}^{\prime} e y_{p}^{\prime\prime} com cuidado (derivação por produto):
y_{p}=A x^{2} e^{2x}.
Derivando uma vez:
y_{p}^{\prime}=A\frac{d}{dx}\big(x^{2}e^{2x}\big)=A\big(2x e^{2x} + x^{2}\cdot 2 e^{2x}\big)=A e^{2x}(2x+2x^{2}).
Derivando de novo:
y_{p}^{\prime\prime}=A\frac{d}{dx}\big(e^{2x}(2x+2x^{2})\big) = A\Big(2e^{2x}(2x+2x^{2}) + e^{2x}(2+4x)\Big).
Fatorando A e^{2x}:
y_{p}^{\prime\prime}=A e^{2x}\big(4x+4x^{2}+2+4x\big)=A e^{2x}\big(4x^{2}+8x+2\big).

Passo 5

Substituir y_{p}, y_{p}^{\prime} e y_{p}^{\prime\prime} no lado esquerdo da EDO:
y_{p}^{\prime\prime}-4y_{p}^{\prime}+4y_{p} = A e^{2x}\big(4x^{2}+8x+2\big) -4\cdot A e^{2x}\big(2x+2x^{2}\big) +4\cdot A x^{2} e^{2x}.
Fatorando A e^{2x} e somando termos semelhantes:
= A e^{2x}\big(4x^{2}+8x+2 -8x -8x^{2} +4x^{2}\big) = A e^{2x}\big(2\big).
Portanto
y_{p}^{\prime\prime}-4y_{p}^{\prime}+4y_{p}=2A e^{2x}.
Para que isso seja igual ao termo não-homogêneo \,e^{2x}, precisamos de 2A e^{2x}=e^{2x}, ou seja 2A=1. Logo
A=\tfrac{1}{2}.
Assim a solução particular é
y_{p}=\tfrac{1}{2}x^{2}e^{2x}.

Passo 6

Combinar a solução homogênea com a particular para obter a solução geral:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{2x}+\tfrac{1}{2}x^{2}e^{2x}.
Podemos fatorar e^{2x} se quiser:
y(x)=e^{2x}\left(C_{1}+C_{2}x+\tfrac{x^{2}}{2}\right).

Passo 7

Verificação (resumida): já mostramos algebraicamente que, para y_{p}=\tfrac{1}{2}x^{2}e^{2x}, o operador linear aplicado a y_{p} 2A e^{2x}=e^{2x}. Com A=\tfrac{1}{2} obtemos exatamente o lado direito da EDO, portanto y_{p} é uma solução particular. Como adicionamos a solução geral da homogênea, a expressão encontrada é a solução geral da equação não-homogênea.

Resposta

Classificação: EDO linear de segunda ordem, coeficientes constantes e não-homogênea (termo forçante \,e^{2x}).
Verificação: a solução particular \,y_{p}=\tfrac{1}{2}x^{2}e^{2x}\, satisfaz \,y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+4y=e^{2x}\,.
Solução geral: \;y(x)=e^{2x}\left(C_{1}+C_{2}x+\tfrac{x^{2}}{2}\right).

Exercícios relacionados