Classifique, verifique e encontre a solução geral da EDO aplicando o método de Equação Exata (caso seja possível).
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial implícita
Pede-se: (i) classificar a equação (que tipo é?), (ii) verificar a propriedade exigida para aplicar o método pedido e (iii) encontrar a solução geral (a integral geral), aplicando o método indicado caso seja possível. As informações relevantes extraídas do enunciado são: a parte multiplicando
é
e a parte multiplicando
é
.
Passo 2
Conceito importante (aula curta e direta): dizemos que uma equação diferencial na forma
é exata se existe uma função potencial
tal que
Uma condição prática e fácil de verificar (quando
e
têm derivadas parciais contínuas) é checar se
Se isso ocorrer em uma região, existe
cuja diferença
constante dá a família de soluções implícitas. A ideia por trás:
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais pedidas usando
e
.
Calculemos
Calculemos
e
Como
para todos
, a equação é exata em toda a reta (domínio
, pois
e
são polinômios). Logo a verificação foi positiva: a equação é exata.
Passo 4
Agora, como a equação é exata, existe
tal que
. Encontramos
integrando
em relação a
, tratando
como constante:
Ao integrar,
é constante, então
onde
é uma “constante” de integração que pode depender apenas de
(por isso a escrevemos como função de
).
Passo 5
Usamos a condição
para determinar
. Diferenciando
em relação a
obtemos
Devemos igualar isso a
, portanto
Cancelando
em ambos os lados, obtemos
Integrando em relação a
,
onde
é uma constante real.
Passo 6
Substituindo
em
temos uma função potencial completa:
A condição
constante dá a solução implícita geral da equação diferencial. Se escrevermos a constante geral como
(absorvendo
), obtemos a solução implícita
Podemos fatorar
:
Daí, quando quisermos a forma explícita para
(onde
), isolamos
:
Observação sobre casos particulares: para
obtém-se
, o que inclui a solução
para todo
. As curvas
não representam soluções regulares como função
(são apenas pontos onde a expressão explícita explode), então a forma implícita é a mais adequada para incluir todos os casos.
Resposta
Classificação: equação exata.
Solução geral implícita: .
Solução geral explícita (quando ):
.
Solução geral implícita:
Solução geral explícita (quando