Classifique, verifique e encontre a solução geral da EDO aplicando o método de Equação Exata (caso seja possível).
(2 x y) d x+\left(x^{2}-1\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial implícita
(2 x y)\,dx+\left(x^{2}-1\right)\,dy=0.
Pede-se: (i) classificar a equação (que tipo é?), (ii) verificar a propriedade exigida para aplicar o método pedido e (iii) encontrar a solução geral (a integral geral), aplicando o método indicado caso seja possível. As informações relevantes extraídas do enunciado são: a parte multiplicando dx é M(x,y)=2 x y e a parte multiplicando dy é N(x,y)=x^{2}-1.

Passo 2

Conceito importante (aula curta e direta): dizemos que uma equação diferencial na forma
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
é exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y) \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y).
Uma condição prática e fácil de verificar (quando M e N têm derivadas parciais contínuas) é checar se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Se isso ocorrer em uma região, existe \Phi cuja diferença \Phi(x,y)= constante dá a família de soluções implícitas. A ideia por trás: d\Phi=M\,dx+N\,dy.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais pedidas usando M(x,y)=2 x y e N(x,y)=x^{2}-1.
Calculemos
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2 x y)=2 x
e
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}-1)=2 x.
Como \frac{\partial M}{\partial y}=2 x=\frac{\partial N}{\partial x} para todos (x,y), a equação é exata em toda a reta (domínio \mathbb{R}^2, pois M e N são polinômios). Logo a verificação foi positiva: a equação é exata.

Passo 4

Agora, como a equação é exata, existe \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M. Encontramos \Phi integrando M em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int 2 x y\,dx.
Ao integrar, y é constante, então
\Phi(x,y)=x^{2}y + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender apenas de y (por isso a escrevemos como função de y).

Passo 5

Usamos a condição \Phi_y=N para determinar h(y). Diferenciando \Phi(x,y)=x^{2}y+h(y) em relação a y obtemos
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=x^{2}+h'(y).
Devemos igualar isso a N(x,y)=x^{2}-1, portanto
x^{2}+h'(y)=x^{2}-1.
Cancelando x^{2} em ambos os lados, obtemos
h'(y)=-1.
Integrando em relação a y,
h(y)=-y + C_0,
onde C_0 é uma constante real.

Passo 6

Substituindo h(y) em \Phi temos uma função potencial completa:
\Phi(x,y)=x^{2}y - y + C_0.
A condição \Phi(x,y)= constante dá a solução implícita geral da equação diferencial. Se escrevermos a constante geral como C (absorvendo C_0), obtemos a solução implícita
x^{2}y - y = C.
Podemos fatorar y:
y\,(x^{2}-1)=C.
Daí, quando quisermos a forma explícita para y (onde x^{2}\neq 1), isolamos y:
y=\frac{C}{x^{2}-1},\quad x^{2}\neq 1.
Observação sobre casos particulares: para C=0 obtém-se y\,(x^{2}-1)=0, o que inclui a solução y=0 para todo x. As curvas x=\pm 1 não representam soluções regulares como função y(x) (são apenas pontos onde a expressão explícita explode), então a forma implícita é a mais adequada para incluir todos os casos.

Resposta

Classificação: equação exata.
Solução geral implícita: \;x^{2}y-y=C.
Solução geral explícita (quando x^{2}\neq 1): \;y=\dfrac{C}{x^{2}-1}.

Exercícios relacionados