Classifique, verifique e encontre a solução geral da EDO aplicando o método de Variáveis Separáveis.
(1+x) d y-y d x=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
(1+x)\,dy - y\,dx = 0
e pede três coisas: classificar a EDO, verificar (que a solução encontrada realmente satisfaz a equação) e encontrar a solução geral aplicando o método de variáveis separáveis. As informações relevantes são: temos uma equação envolvendo x, y, dx e dy; esperamos uma solução y(x). Nada mais foi dado.

Passo 2

Vamos escrever a equação numa forma mais familiar para separar as variáveis. A equação dada é
(1+x)\,dy - y\,dx = 0.
Reorganizando os termos:
(1+x)\,dy = y\,dx.
Agora, se quisermos separar as variáveis, colocamos todos os termos com y num lado e todos os termos com x no outro. Para isso dividimos ambos os lados por y(1+x), mas antes é importante comentar: ao dividir por y estamos excluindo provisoriamente a possibilidade y\equiv 0; vamos tratar essa possibilidade especial depois. Feito isso obtemos
\frac{dy}{y} = \frac{dx}{1+x}.

Passo 3

Explicando a técnica usada: “variáveis separáveis” significa exatamente escrever a diferencial numa forma em que apenas y aparece com dy e apenas x aparece com dx, de modo que possamos integrar cada lado em relação à sua variável. Temos então duas integrais usuais:
\int \frac{dy}{y} \quad\text{e}\quad \int \frac{dx}{1+x}.
Lembre que
\int \frac{du}{u} = \ln\bigl|u\bigr| + C,
porque a derivada de \ln|u| em relação a u é 1/u. Aplicando isso:
\int \frac{dy}{y} = \ln\bigl|y\bigr| + C_1,
\int \frac{dx}{1+x} = \ln\bigl|1+x\bigr| + C_2.
Igualando as integrais (podemos agrupar as constantes numa só), obtemos
\ln\bigl|y\bigr| = \ln\bigl|1+x\bigr| + C,
onde C = C_2 - C_1 é uma constante arbitrária.

Passo 4

Agora vamos “desfazer” o logaritmo. Exponenciando ambos os lados:
\exp\!\bigl(\ln|y|\bigr) = \exp\!\bigl(\ln|1+x| + C\bigr).
Isso dá
|y| = e^{C}\,|1+x|.
Como e^{C} é uma constante positiva, podemos escrever e^{C}=K>0 e então permitir que a constante multiplicadora seja qualquer número real (incluindo negativos) definindo C' tal que C'= \pm K. Assim obtemos a forma simples
y = C'(1+x),
onde C' é uma constante arbitrária real. Para simplificar a notação, usamos C para a constante geral:
y = C(1+x).

Passo 5

Tratamento da solução trivial e domínio: quando fizemos a divisão por y assumimos y\neq 0. A função y\equiv 0 (ou seja, y(x)=0 para todo x) também é solução da equação original, e está incluída na família y=C(1+x) ao escolher C=0. Logo a solução geral já cobre esse caso. Note que não precisamos excluir x=-1 da solução final: substituindo y=C(1+x) diretamente na forma diferencial original verifica-se que a identidade é satisfeita para todo x.

Passo 6

Verificação direta (para ficar 100% seguro): da solução y=C(1+x) temos dy = C\,dx. Substituindo na equação original:
(1+x)\,dy - y\,dx = (1+x)(C\,dx) - (C(1+x))\,dx = 0.
Portanto a solução encontrada satisfaz exatamente a EDO.

Passo 7

Classificação (resumida e didática): a equação é de primeira ordem (aparece apenas dy e dx, sem derivadas de ordem maior). É linear na forma padrão y' - \dfrac{1}{1+x}y=0 e, ao mesmo tempo, é separável — o que permitiu aplicar o método acima. Em provas, é comum apontar ambas as características: “1ª ordem, linear e separável”.

Resposta

Classificação: EDO de primeira ordem, linear e separável.
Verificação: a família y=C(1+x) satisfaz a equação, pois (1+x)\,dy - y\,dx = 0 ao substituir dy=C\,dx e y=C(1+x).
Solução geral: y=C(1+x), com C\in\mathbb{R}.

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