Classifique, verifique e encontre a solução geral da EDO a seguir aplicando o método de variação de parâmetros.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária linear de segunda ordem não homogênea
Pede que eu classifique, verifique e encontre a solução geral aplicando o método de variação de parâmetros.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
onde
é a solução geral da homogênea e
é uma solução particular obtida por variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro encontro a solução da equação homogênea associada:
Para isso uso a equação característica. Substituo
, o que leva à equação
Resolvo essa equação quadrática para
.
Passo 3
Resolvo a quadrática
(faço fatoração):
Portanto as raízes são
Como temos duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora explico o método de variação de parâmetros de forma didática e aplicada aqui.
Ideia: em vez de constantes
onde
e
são as soluções fundamentais da homogênea.
Para fixar
impomos a condição auxiliar (padrão do método):
assim simplificamos as expressões das derivadas e obtemos o sistema linear para
e
:
onde (r(x)=2x] é o termo não homogêneo da equação original.
Esse sistema pode ser resolvido por regra de Cramer usando o Wronskiano
As fórmulas resultantes são
Depois integro
e
para obter
e constrói
.]
Passo 5
Calculo as derivadas e o Wronskiano das soluções
.
Portanto o Wronskiano é
Passo 6
Usando as fórmulas do Passo 4 com
e
,
Passo 7
Agora integro
e
. Começo por
:
Integro por partes. Para
tomo
Logo
E
Assim
Multiplicando por
,
Posso escolher a constante de integração
para obter uma particular conveniente (qualquer constante será absorvida em
na solução geral).
Passo 8
Agora integro
:
Integro por partes
com
Então
Multiplicando por
,
Escolho
por razão análoga ao caso anterior.
Passo 9
Agora construo a solução particular
Substituo
:
Agora somo os termos semelhantes. Para os coeficientes de
:
Para os termos constantes:
Portanto
Passo 10
Verifico rapidamente que
funciona: se
então
e
. Substituindo em
:
que coincide com o lado direito
. Beleza —
é mesmo uma particular.
Passo 11
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
onde
são constantes arbitrárias.