Classifique, verifique e encontre a solução geral da EDO a seguir aplicando o método de variação de parâmetros.
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-6 y=2 x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária linear de segunda ordem não homogênea
y''+y'-6y=2x.
Pede que eu classifique, verifique e encontre a solução geral aplicando o método de variação de parâmetros.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{Equação: } y''+y'-6y=2x.çã
\text{Termo não homogêneo: } r(x)=2x.ãê
\text{Queremos a solução geral } y(x)=y_c(x)+y_p(x),çã
onde y_c é a solução geral da homogênea e y_p é uma solução particular obtida por variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro encontro a solução da equação homogênea associada:
y''+y'-6y=0.
Para isso uso a equação característica. Substituo y=e^{rx}, o que leva à equação
r^2+r-6=0.
Resolvo essa equação quadrática para r.

Passo 3

Resolvo a quadrática \;r^2+r-6=0\; (faço fatoração):
r^2+r-6=(r+3)(r-2)=0.
Portanto as raízes são
r_1=2,\qquad r_2=-3.
Como temos duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
y_c(x)=C_1 e^{2x}+C_2 e^{-3x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora explico o método de variação de parâmetros de forma didática e aplicada aqui.
Ideia: em vez de constantes C_1,C_2\) tomo funções \(u_1(x),u_2(x)\) e procuro uma solução particular da forma \[y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x),
onde y_1(x)=e^{2x} e y_2(x)=e^{-3x} são as soluções fundamentais da homogênea.
Para fixar u_1,u_2 impomos a condição auxiliar (padrão do método):
u_1'(x)y_1(x)+u_2'(x)y_2(x)=0,
assim simplificamos as expressões das derivadas e obtemos o sistema linear para u_1' e u_2':
\begin{cases} u_1'(x)y_1(x)+u_2'(x)y_2(x)=0,\\[4pt] u_1'(x)y_1'(x)+u_2'(x)y_2'(x)=r(x), \end{cases}
onde (r(x)=2x] é o termo não homogêneo da equação original.
Esse sistema pode ser resolvido por regra de Cramer usando o Wronskiano
W(x)=\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}=y_1y_2'-y_1'y_2.
As fórmulas resultantes são
u_1'=-\frac{r(x)\,y_2(x)}{W(x)},\qquad u_2'=\frac{r(x)\,y_1(x)}{W(x)}.
Depois integro u_1' e u_2' para obter u_1,u_2 e constrói y_p.]

Passo 5

Calculo as derivadas e o Wronskiano das soluções y_1,y_2.
y_1(x)=e^{2x},\quad y_1'(x)=2e^{2x}.
y_2(x)=e^{-3x},\quad y_2'(x)=-3e^{-3x}.
Portanto o Wronskiano é
W(x)=y_1y_2'-y_1'y_2=e^{2x}(-3e^{-3x})-(2e^{2x})(e^{-3x})=(-3-2)e^{-x}=-5e^{-x}.

Passo 6

Usando as fórmulas do Passo 4 com r(x)=2x e W(x)=-5e^{-x},
u_1'(x)=-\frac{2x\;y_2(x)}{W(x)}=-\frac{2x\;e^{-3x}}{-5e^{-x}}=\frac{2x}{5}e^{-2x},
u_2'(x)=\frac{2x\;y_1(x)}{W(x)}=\frac{2x\;e^{2x}}{-5e^{-x}}=-\frac{2x}{5}e^{3x}.

Passo 7

Agora integro u_1' e u_2'. Começo por u_1:
u_1(x)=\int u_1'(x)\,dx=\int \frac{2x}{5}e^{-2x}\,dx=\frac{2}{5}\int x e^{-2x}\,dx.
Integro por partes. Para \int x e^{-2x}\,dx tomo
\begin{aligned} &\text{u = } x \Rightarrow du=dx,\\\ &\text{dv = } e^{-2x}dx \Rightarrow v=-\tfrac{1}{2}e^{-2x}. \end{aligned}
Logo
\int x e^{-2x}\,dx = x\left(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\right)-\int 1\cdot\left(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\right)dx = -\tfrac{x}{2}e^{-2x}+\tfrac{1}{2}\int e^{-2x}dx.
E
\int e^{-2x}dx=-\tfrac{1}{2}e^{-2x}.
Assim
\int x e^{-2x}\,dx = -\tfrac{x}{2}e^{-2x}+\tfrac{1}{2}\left(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\right)=-\tfrac{x}{2}e^{-2x}-\tfrac{1}{4}e^{-2x}.
Multiplicando por \tfrac{2}{5},
u_1(x)=\frac{2}{5}\left(-\tfrac{x}{2}e^{-2x}-\tfrac{1}{4}e^{-2x}\right)=-\tfrac{1}{5}x e^{-2x}-\tfrac{1}{10}e^{-2x}+C_1.
Posso escolher a constante de integração C_1=0 para obter uma particular conveniente (qualquer constante será absorvida em C_1e^{2x}+C_2e^{-3x} na solução geral).

Passo 8

Agora integro u_2':
u_2(x)=\int u_2'(x)\,dx=\int -\frac{2x}{5}e^{3x}\,dx=-\frac{2}{5}\int x e^{3x}\,dx.
Integro por partes \int x e^{3x}\,dx com
\begin{aligned} &\text{u = } x \Rightarrow du=dx,\\\ &\text{dv = } e^{3x}dx \Rightarrow v=\tfrac{1}{3}e^{3x}. \end{aligned}
Então
\int x e^{3x}\,dx = x\cdot\tfrac{1}{3}e^{3x}-\int 1\cdot\tfrac{1}{3}e^{3x}dx=\tfrac{x}{3}e^{3x}-\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{3}e^{3x}=\tfrac{x}{3}e^{3x}-\tfrac{1}{9}e^{3x}.
Multiplicando por -\tfrac{2}{5},
u_2(x)=-\tfrac{2}{5}\left(\tfrac{x}{3}e^{3x}-\tfrac{1}{9}e^{3x}\right)=-\tfrac{2}{15}x e^{3x}+\tfrac{2}{45}e^{3x}+C_2.
Escolho C_2=0 por razão análoga ao caso anterior.

Passo 9

Agora construo a solução particular
y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x).
Substituo u_1,u_2,y_1,y_2:
\begin{aligned} y_p(x)&=\left(-\tfrac{1}{5}x e^{-2x}-\tfrac{1}{10}e^{-2x}\right)\cdot e^{2x}+\left(-\tfrac{2}{15}x e^{3x}+\tfrac{2}{45}e^{3x}\right)\cdot e^{-3x}\\[4pt] &= -\tfrac{1}{5}x -\tfrac{1}{10} -\tfrac{2}{15}x +\tfrac{2}{45}. \end{aligned}
Agora somo os termos semelhantes. Para os coeficientes de x:
-\tfrac{1}{5}x-\tfrac{2}{15}x=-\left(\tfrac{3}{15}+\tfrac{2}{15}\right)x=-\tfrac{5}{15}x=-\tfrac{1}{3}x.
Para os termos constantes:
-\tfrac{1}{10}+\tfrac{2}{45}=-\tfrac{9}{90}+\tfrac{4}{90}=-\tfrac{5}{90}=-\tfrac{1}{18}.
Portanto
y_p(x)=-\tfrac{1}{3}x-\tfrac{1}{18}.]

Passo 10

Verifico rapidamente que y_p funciona: se y_p=-\tfrac{1}{3}x-\tfrac{1}{18} então y_p'=-\tfrac{1}{3} e y_p''=0. Substituindo em y''+y'-6y:
0+(-\tfrac{1}{3})-6\left(-\tfrac{1}{3}x-\tfrac{1}{18}\right)=-\tfrac{1}{3}+2x+\tfrac{1}{3}=2x,
que coincide com o lado direito 2x. Beleza — y_p é mesmo uma particular.

Passo 11

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_c(x)+y_p(x)=C_1 e^{2x}+C_2 e^{-3x}-\tfrac{1}{3}x-\tfrac{1}{18},
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_1 e^{2x}+C_2 e^{-3x}-\tfrac{1}{3}x-\tfrac{1}{18}

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