Classifique, verifique e encontre a solução geral da EDO a seguir aplicando o método de variação de parâmetros.
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-y=e^{-x}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y=e^{-x}
e pede três coisas: (1) classificar a equação, (2) verificar a solução particular encontrada, e (3) encontrar a solução geral aplicando o método de variação de parâmetros. Informação disponível: a função incógnita é y(x) e o termo não-homogêneo (lado direito) é e^{-x}. Não há nenhuma outra informação extra no enunciado.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada, que é
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y=0.
Procuramos soluções da forma \,y=e^{rx}\,. Substituindo na equação homogênea obtemos a equação característica
r^{2}-1=0.
Resolvendo temos r=\pm1. Portanto duas soluções lineares independentes são
y_{1}=e^{x},\qquad y_{2}=e^{-x}.
Passo 3
Agora calculamos o Wronskiano das soluções fundamentais \,y_{1} e \,y_{2}\,. O Wronskiano é definido por
O Wronskiano é diferente de zero (constante -2), logo \{y_{1},y_{2}\} é um conjunto fundamental de soluções da homogênea.
Passo 4
Explicando a ideia do método de variação de parâmetros: queremos uma solução particular da forma
y_{p}=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
onde u_{1} e u_{2} são funções a determinar. Para tornar o sistema determinável impomos a condição auxiliar
u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)=0,
e exigimos também que
u_{1}'(x)y_{1}'(x)+u_{2}'(x)y_{2}'(x)=r(x),
onde r(x) é o termo não-homogêneo quando a EDO está na forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=r(x). No nosso caso a equação já está na forma padrão com p(x)=0, q(x)=-1 e r(x)=e^{-x}. A partir desse sistema existe uma fórmula direta usando o Wronskiano:
Mostrei passo a passo: no primeiro, e^{-x}\cdot e^{-x}=e^{-2x} e o sinal divide por -2 resultando em +\,e^{-2x}/2; no segundo, e^{-x}\cdot e^{x}=1 então fica -1/2.
Passo 6
Integramos para obter u_{1} e u_{2}. Integramos sem constantes de integração porque queremos apenas uma solução particular (constantes seriam absorvidas na solução homogênea):
Portanto y_{p} satisfaz a equação original, a verificação está completa.
Passo 10
Classificação final e observações: a equação \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}-y=e^{-x} é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, linear e não-homogênea com coeficientes constantes. Aplicando variação de parâmetros obtivemos a solução geral apresentada abaixo.