Classifique, verifique e encontre a solução geral da EDO a seguir aplicando o método de variação de parâmetros.
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-y=e^{-x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y=e^{-x}
e pede três coisas: (1) classificar a equação, (2) verificar a solução particular encontrada, e (3) encontrar a solução geral aplicando o método de variação de parâmetros. Informação disponível: a função incógnita é y(x) e o termo não-homogêneo (lado direito) é e^{-x}. Não há nenhuma outra informação extra no enunciado.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada, que é
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y=0.
Procuramos soluções da forma \,y=e^{rx}\,. Substituindo na equação homogênea obtemos a equação característica
r^{2}-1=0.
Resolvendo temos r=\pm1. Portanto duas soluções lineares independentes são
y_{1}=e^{x},\qquad y_{2}=e^{-x}.

Passo 3

Agora calculamos o Wronskiano das soluções fundamentais \,y_{1} e \,y_{2}\,. O Wronskiano é definido por
W(y_{1},y_{2}) = \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}.
Como y_{1}'=e^{x} e y_{2}'=-e^{-x}, temos
W = e^{x}(-e^{-x}) - e^{x}e^{-x} = -1 - 1 = -2.
O Wronskiano é diferente de zero (constante -2), logo \{y_{1},y_{2}\} é um conjunto fundamental de soluções da homogênea.

Passo 4

Explicando a ideia do método de variação de parâmetros: queremos uma solução particular da forma
y_{p}=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
onde u_{1} e u_{2} são funções a determinar. Para tornar o sistema determinável impomos a condição auxiliar
u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)=0,
e exigimos também que
u_{1}'(x)y_{1}'(x)+u_{2}'(x)y_{2}'(x)=r(x),
onde r(x) é o termo não-homogêneo quando a EDO está na forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=r(x). No nosso caso a equação já está na forma padrão com p(x)=0, q(x)=-1 e r(x)=e^{-x}. A partir desse sistema existe uma fórmula direta usando o Wronskiano:
u_{1}'(x) = -\frac{r(x)\,y_{2}(x)}{W(y_{1},y_{2})},\qquad u_{2}'(x) = \frac{r(x)\,y_{1}(x)}{W(y_{1},y_{2})}.
Vou agora aplicar essas fórmulas ao nosso caso.

Passo 5

Substituímos r(x)=e^{-x}, y_{1}=e^{x}, y_{2}=e^{-x} e W=-2 nas fórmulas:
u_{1}'(x) = -\frac{e^{-x}\cdot e^{-x}}{-2} = \frac{e^{-2x}}{2},
u_{2}'(x) = \frac{e^{-x}\cdot e^{x}}{-2} = -\frac{1}{2}.
Mostrei passo a passo: no primeiro, e^{-x}\cdot e^{-x}=e^{-2x} e o sinal divide por -2 resultando em +\,e^{-2x}/2; no segundo, e^{-x}\cdot e^{x}=1 então fica -1/2.

Passo 6

Integramos para obter u_{1} e u_{2}. Integramos sem constantes de integração porque queremos apenas uma solução particular (constantes seriam absorvidas na solução homogênea):
u_{1}(x)=\int \frac{e^{-2x}}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int e^{-2x}\,dx = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right) = -\frac{1}{4}e^{-2x}.
u_{2}(x)=\int -\frac{1}{2}\,dx = -\frac{x}{2}.

Passo 7

Agora construímos a solução particular usando y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}:
y_{p} = \left(-\frac{1}{4}e^{-2x}\right)e^{x} + \left(-\frac{x}{2}\right)e^{-x}.
Simplificando cada termo:
\left(-\frac{1}{4}e^{-2x}\right)e^{x} = -\frac{1}{4}e^{-x}, \qquad \left(-\frac{x}{2}\right)e^{-x} = -\frac{x}{2}e^{-x}.
Somando,
y_{p} = -\left(\frac{1}{4}+\frac{x}{2}\right)e^{-x} = -\frac{1+2x}{4}\,e^{-x}.

Passo 8

A solução geral da equação é a soma da solução homogênea com a particular:
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}-\frac{1+2x}{4}\,e^{-x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 9

Verificação (vamos checar que o particular y_{p}=-\dfrac{1+2x}{4}e^{-x} satisfaz a equação). Calculamos derivadas com cuidado (regra do produto):
Primeiro escreva y_{p}=-\dfrac{1}{4}(1+2x)e^{-x}.
Derivando,
y_{p}'=-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\big((1+2x)e^{-x}\big) =-\frac{1}{4}\big(2e^{-x}+(1+2x)(-e^{-x})\big) =-\frac{1-2x}{4}e^{-x}.
Derivando novamente,
y_{p}''=-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\big((1-2x)e^{-x}\big) =-\frac{1}{4}\big((-2)e^{-x}+(1-2x)(-e^{-x})\big) =\frac{3-2x}{4}e^{-x}.
Agora avaliamos y_{p}''-y_{p}:
y_{p}''-y_{p}=\frac{3-2x}{4}e^{-x}-\Big(-\frac{1+2x}{4}e^{-x}\Big) =\frac{3-2x+1+2x}{4}e^{-x}=\frac{4}{4}e^{-x}=e^{-x}.
Portanto y_{p} satisfaz a equação original, a verificação está completa.

Passo 10

Classificação final e observações: a equação \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}-y=e^{-x} é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, linear e não-homogênea com coeficientes constantes. Aplicando variação de parâmetros obtivemos a solução geral apresentada abaixo.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}-\frac{1+2x}{4}\,e^{-x}

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