Classique cada EDO abaixo quanto à ordem e linearidade. Decida se as relações dadas definem soluções para a mesma.
y^prime=e^-x y-ye^-x y+x ; e^x y+y=x-1.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação
y' = e^-xy - ye^-xy + x
e a relação implícita
e^xy + y = x - 1
O que nos pedem:
1. classificar cada ``equação'' quanto à ordem e linearidade;
2. verificar se a relação implícita define de fato soluções da primeira EDO.

Passo 2

Classificação da EDO
y' = e^-xy - ye^-xy + x
– ordem: é uma equação que envolve apenas y', logo é de primeira ordem.
– linearidade: aparece y dentro de e^-xy e no numerador, não é da forma a(x),y'+b(x),y=c(x); portanto é não-linear.
A relação
e^xy + y = x - 1
não envolve derivada de y. É uma relação algébrica (ordem zero), não uma EDO propriamente dita.

Passo 3

Vamos ver se qualquer curva y(x) que satisfaça
e^xy + y = x - 1
também satisfaz a EDO dada. Derivando ambos os lados em relação a x:
ddxl(e^xy+yr) = ddx(x-1),
No lado esquerdo, usando regra da cadeia em e^xy:
ddx(e^xy) = e^xyl(y + x,y'r), ddx(y)=y',
logo
e^xy(y + x,y') + y' = 1
Agrupando os termos em y':
y'l(e^xyx + 1r) = 1 - y,e^xy Longrightarrow y' = 1 - y,e^xye^xyx + 1
Multiplicando numerador e denominador por e^-xy
y' = e^-xy - ye^-xy + x,
que coincide exatamente com a EDO original.

Resposta

A equação y'=e^-xy-ye^-xy+x é de primeira ordem e não-linear. A relação e^xy+y=x-1 é algébrica (ordem zero), mas, quando derivada, produz
y'=e^-xy-ye^-xy+x,
logo define implicitamente a família geral de soluções da EDO dada.

Exercícios relacionados