Classique cada EDO abaixo quanto à ordem e linearidade. Decida se as relações dadas definem soluções para a mesma.
.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação
e a relação implícita
O que nos pedem:
. classificar cada ``equação'' quanto à ordem e linearidade;
. verificar se a relação implícita define de fato soluções da primeira EDO.
Passo 2
Classificação da EDO
– ordem: é uma equação que envolve apenas
, logo é de primeira ordem.
– linearidade: aparece dentro de
e no numerador, não é da forma
; portanto é não-linear.
– linearidade: aparece
A relação
não envolve derivada de
. É uma relação algébrica (ordem zero), não uma EDO propriamente dita.
Passo 3
Vamos ver se qualquer curva
que satisfaça
também satisfaz a EDO dada. Derivando ambos os lados em relação a
:
No lado esquerdo, usando regra da cadeia em
:
logo
Agrupando os termos em
:
Multiplicando numerador e denominador por
dá
que coincide exatamente com a EDO original.
Resposta
A equação
é de primeira ordem e não-linear. A relação
é algébrica (ordem zero), mas, quando derivada, produz
logo define implicitamente a família geral de soluções da EDO dada.