Encontre a soma das seguintes séries:
(h)
(h)
Passo 1
O enunciado pede para estudar a série
Aqui o conteúdo é séries infinitas e teste de convergência. Vamos ver se essa série converge ou diverge, e em caso de convergência, encontrar sua soma.
Passo 2
Observe que para cada
vale
Esse tipo de decomposição permite escrever a soma como a diferença de uma soma de 1’s e de uma soma harmônica.
Passo 3
Defina a soma parcial
Substituindo a decomposição,
A primeira soma é
e a segunda é
onde
é o \emph{número harmônico} de ordem
. Logo
Passo 4
Sabemos que
com
a constante de Euler–Mascheroni. Assim
Ou seja, a soma parcial cresce sem limite; a série não converge.
Resposta
A série diverge (soma igual a
).