Encontre a soma das seguintes séries:
(h) sumn=1^+infty nn+1

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
sumn=1^infty nn+1
Aqui o conteúdo é séries infinitas e teste de convergência. Vamos ver se essa série converge ou diverge, e em caso de convergência, encontrar sua soma.

Passo 2

Observe que para cada n vale
nn+1 =1 - 1n+1
Esse tipo de decomposição permite escrever a soma como a diferença de uma soma de 1’s e de uma soma harmônica.

Passo 3

Defina a soma parcial
SN = sumn=1^N nn+1
Substituindo a decomposição,
SN = sumn=1^N l(1 - 1n+1r) = sumn=1^N 1 ;-;sumn=1^N 1n+1
A primeira soma é N e a segunda é
sumn=1^N 1n+1 =HN+1-1,
onde HN+1 é o \emph{número harmônico} de ordem N+1. Logo
SN = N - l(HN+1-1r) = N + 1 - HN+1

Passo 4

Sabemos que
HN+1 = ln(N+1) + gamma + o(1),
com gamma a constante de Euler–Mascheroni. Assim
SN = N + 1 - l(ln(N+1)+gamma+o(1)r) sim N - ln N to +infty quando Ntoinfty
Ou seja, a soma parcial cresce sem limite; a série não converge.

Resposta

A série diverge (soma igual a +infty).

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