Classifique cada equação diferencial como separável, linear, exata ou nenhuma destas. Observe que algumas podem ter mais de uma classificação.
(x^3-2 y) d x+x d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
M(x,y)=x^3-2y, N(x,y)=x
Queremos classificar essa equação em separável, linear, exata ou nenhuma destas.

Passo 2

Teste de separabilidade: escrevemos
dydx = -M(x,y)N(x,y) = -x^3 - 2yx = -x^2 + 2yx
Para ser separável precisaríamos escrever tfracdydx=g(x),h(y), mas aqui temos um termo -x^2 somado a tfrac2yx, que não é produto de função só de x por função só de y. Logo, não é separável.

Passo 3

Teste de linearidade: reorganizamos em
dydx - 2x,y = -,x^2
Isso está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem
dydx + P(x),y = Q(x)
com
P(x)=-2x, Q(x)=-x^2,
que dependem apenas de x. Portanto, a equação é linear.

Passo 4

Teste de exatidão: comparamos
partial Mpartial y = -2, partial Npartial x = 1
Como -2 neq 1, a forma M,dx + N,dy não é exata (sem fator integrante).

Resposta

A equação diferencial é linear, não é separável nem exata.

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