Um cliente C abriu uma conta de poupança com um depósito inicial de
1037,60$. Sabendo que parte deste valor não acrescentaria aos juros, foi observando a progressão do saldo depositado ao longo dos meses e anotando os valores atualizados no início de cada mês seguinte. No início do quinto mês a tabela apresenta os seguintes dados:
(meses)
(reais)
0
1037,60
1
1087,60
2
1140,10
3
1195,23
4
1253,11
Curioso para saber os rendimentos futuros, decidiu encontrar a expressão da função que modela o crescimento do saldo dessa conta de poupança. No final das sua busca a função identificada foi
|
|
|
| 0 | 1037,60 |
| 1 | 1087,60 |
| 2 | 1140,10 |
| 3 | 1195,23 |
| 4 | 1253,11 |
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a expressão da função que modela o crescimento do saldo da conta de poupança ao longo do tempo. Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
O que precisamos: determinar a fórmula
que descreve esses valores (entre as alternativas A, B, C, D, E do enunciado).
Passo 2
Modelo plausível: o enunciado diz que “parte deste valor não acrescentaria aos juros” — isto sugere que existe uma parcela fixa que não rende e outra parcela que rende com juros compostos. Então usamos um modelo do tipo
onde:
-
é a parte do saldo que rende juros compostos; -
é o fator de multiplicação por mês (ou seja, , onde é a taxa de juros mensal); -
é a parte que NÃO rende juros (valor fixo que permanece constante ao longo do tempo); -
é o tempo em meses e é o saldo no início do mês .
Explicando por quê: se uma parcela
cresce com juros compostos, em cada mês multiplica-se por
, gerando
depois de
meses; somando a parte que não rende
obtemos o saldo total.
Passo 3
Usamos os valores dados para montar equações. Em
temos
Em
temos
Subtraindo essas duas equações obtemos uma relação simples que elimina
:
Calculando a diferença com os valores da tabela (peguei esses valores da tabela):
Logo
Passo 4
Agora observamos a diferença entre
e
. Pelo modelo,
Usando os valores da tabela (peguei-os da tabela):
Então
Dividindo esta última equação pela equação do passo anterior
, obtemos
Interpretação:
significa taxa mensal de
(ou
por mês).
Passo 5
Com
, voltamos a
. Substituindo
temos
Calculando:
Interpretação: a parte que rende juros é
.
Passo 6
Agora achamos
usando
:
Interpretação:
é a parcela que não rende juros.
Passo 7
Escrevemos a função completa com os valores encontrados:
Vamos verificar rapidamente com
para garantir consistência com a tabela (peguei os valores da tabela para comparar):
- Para
:
confere com a tabela.
- Para
:
confere (arredondamento para centavos).
- Para
:
confere.
Tudo bate com os dados. Portanto a alternativa correta é a que apresenta essa fórmula.