Um cliente C abriu uma conta de poupança com um depósito inicial de \mathrm{R} \ 1037,60$. Sabendo que parte deste valor não acrescentaria aos juros, foi observando a progressão do saldo depositado ao longo dos meses e anotando os valores atualizados no início de cada mês seguinte. No início do quinto mês a tabela apresenta os seguintes dados:
\mathbf{t} (meses) \mathbf{V} (reais)
0 1037,60
1 1087,60
2 1140,10
3 1195,23
4 1253,11
Curioso para saber os rendimentos futuros, decidiu encontrar a expressão da função que modela o crescimento do saldo dessa conta de poupança. No final das sua busca a função identificada foi
\begin{aligned} & \text { (A) } S(t)=1000 \cdot 1,05^{t}+37,60 . \\ & \text { B } S(t)=1000 \cdot 1,1^{t}+87,60 . \\ & \mathbb{C} S(t)=1000 \cdot 1,15^{t}+53,11 . \\ & \mathbb{D} S(t)=1050 \cdot 1,05^{t}+87,60 . \\ & \mathbb{E} S(t)=1050 \cdot 1,1^{t}+37,60 . \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a expressão da função que modela o crescimento do saldo da conta de poupança ao longo do tempo. Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
\begin{array}{|c|c|} \hline t\\ (\text{meses}) & V\\ (\text{reais}) \\\ \hline 0 & 1037,60 \\\ \hline 1 & 1087,60 \\\ \hline 2 & 1140,10 \\\ \hline 3 & 1195,23 \\\ \hline 4 & 1253,11 \\\ \hline \end{array}
O que precisamos: determinar a fórmula S(t) que descreve esses valores (entre as alternativas A, B, C, D, E do enunciado).

Passo 2

Modelo plausível: o enunciado diz que “parte deste valor não acrescentaria aos juros” — isto sugere que existe uma parcela fixa que não rende e outra parcela que rende com juros compostos. Então usamos um modelo do tipo
S(t)=A\cdot r^{t}+B,
onde:
  • A é a parte do saldo que rende juros compostos;
  • r é o fator de multiplicação por mês (ou seja, r=1+i, onde i é a taxa de juros mensal);
  • B é a parte que NÃO rende juros (valor fixo que permanece constante ao longo do tempo);
  • t é o tempo em meses e S(t) é o saldo no início do mês t.
Explicando por quê: se uma parcela A cresce com juros compostos, em cada mês multiplica-se por r, gerando A r^{t} depois de t meses; somando a parte que não rende B obtemos o saldo total.

Passo 3

Usamos os valores dados para montar equações. Em t=0 temos
S(0)=A+B=1037,60.
Em t=1 temos
S(1)=A r + B =1087,60.
Subtraindo essas duas equações obtemos uma relação simples que elimina B:
S(1)-S(0)=A(r-1).
Calculando a diferença com os valores da tabela (peguei esses valores da tabela):
1087,60-1037,60=50.
Logo
A(r-1)=50.

Passo 4

Agora observamos a diferença entre S(2) e S(1). Pelo modelo,
S(2)-S(1)=A r^{2}+B-(A r + B)=A r(r-1).
Usando os valores da tabela (peguei-os da tabela):
1140,10-1087,60=52,50.
Então
A r(r-1)=52,50.
Dividindo esta última equação pela equação do passo anterior A(r-1)=50, obtemos
\frac{A r(r-1)}{A(r-1)}= \frac{52,50}{50}\quad\Rightarrow\quad r=\frac{52,50}{50}=1,05.
Interpretação: r=1,05 significa taxa mensal de 5\% (ou i=0,05 por mês).

Passo 5

Com r=1,05, voltamos a A(r-1)=50. Substituindo r-1=0,05 temos
A\cdot 0,05=50 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{50}{0,05}.
Calculando:
A=\frac{50}{0,05}=1000.
Interpretação: a parte que rende juros é \mathrm{R}\$\,1000.

Passo 6

Agora achamos B usando A+B=1037,60:
B=1037,60-A=1037,60-1000=37,60.
Interpretação: \mathrm{R}\$\,37,60 é a parcela que não rende juros.

Passo 7

Escrevemos a função completa com os valores encontrados:
S(t)=1000\cdot 1,05^{t}+37,60.
Vamos verificar rapidamente com t=2,3,4 para garantir consistência com a tabela (peguei os valores da tabela para comparar):
  • Para t=2:
1000\cdot 1,05^{2}+37,60=1000\cdot 1,1025 +37,60=1102,50+37,60=1140,10,
confere com a tabela.
  • Para t=3:
1000\cdot 1,05^{3}+37,60=1000\cdot 1,157625 +37,60=1157,625+37,60=1195,225\approx 1195,23,
confere (arredondamento para centavos).
  • Para t=4:
1000\cdot 1,05^{4}+37,60\approx 1215,50625+37,60=1253,10625\approx 1253,11,
confere.
Tudo bate com os dados. Portanto a alternativa correta é a que apresenta essa fórmula.

Resposta

S(t)=1000\cdot 1,05^{t}+37,60

Exercícios relacionados