QUESTÃO 169

Temendo a época de estiagem, um grupo de moradores decidiu, em comunidade, a comprar uma grande caixa d’água para servir de reservatório. Entrando em contato com um fornecedor, este ofereceu caixas d’água cilíndricas. A caixa d’água I possui altura igual ao raio da base. Comparando os outros modelos com a I, obtinha-se certas análises.
  • Modelo II: o dobro da altura de I.
  • Modelo III: o triplo da altura de I.
  • Modelo IV: o dobro do raio da base de I.
  • Modelo V: o dobro do raio da base e metade da altura de I.
O modelo que apresenta a melhor opção para o maior armazenamento de água é:
(A) I.
(B) II.
(C)III.
(D) IV.

Passo 1

Calma, a gente vai destrinchar o enunciado passo a passo. O problema pergunta qual modelo de caixa d’água cilíndrica oferece o maior armazenamento. As informações dadas sobre os modelos (comparados ao modelo I) são:
  • Modelo I: altura igual ao raio da base. Vou chamar o raio de r e, portanto, a altura de h com h = r.
  • Modelo II: possui o dobro da altura de I (ou seja, altura 2h, com o raio igual ao de I).
  • Modelo III: possui o triplo da altura de I (ou seja, altura 3h, com o raio igual ao de I).
  • Modelo IV: possui o dobro do raio da base de I (ou seja, raio 2r, com a mesma altura de I).
  • Modelo V: possui o dobro do raio da base e metade da altura de I (ou seja, raio 2r e altura h/2).
O que nos pedem: identificar qual dos modelos (I, II, III, IV ou V) tem o maior volume (maior capacidade de água).

Passo 2

Fórmula chave: o volume V de um cilindro é dado por
V = \pi r^{2} h
Explicando: r é o raio da base (distância do centro até a borda), h é a altura do cilindro, e \pi é a constante (aprox. 3{,}1416). A área da base é \pi r^{2} e multiplicando pela altura obtemos o volume. Essa fórmula é a base de toda a comparação — para cada modelo mudam r e/ou h.

Passo 3

Calculemos primeiro o volume do modelo I (referência). Tomando o raio da I como r e a altura h=r, temos
V_{I} = \pi r^{2} h = \pi r^{2} \cdot r = \pi r^{3}.
Vou usar V_{I} como unidade de comparação: todos os outros volumes serão expressos em múltiplos de V_{I}.

Passo 4

Modelo II: tem o mesmo raio r e altura 2h. Como h=r, a altura é 2r. O volume é
V_{II} = \pi r^{2} \cdot (2r) = 2\pi r^{3}.
Comparando com V_{I}=\pi r^{3}, concluímos que
V_{II} = 2 V_{I}.
Intuição: dobrar a altura dobra o volume (área da base não mudou).

Passo 5

Modelo III: mesmo raio r e altura 3h = 3r. Volume:
V_{III} = \pi r^{2} \cdot (3r) = 3\pi r^{3}.
Logo
V_{III} = 3 V_{I}.
Intuição: triplicar a altura triplica o volume.

Passo 6

Modelo IV: raio dobrado 2r e mesma altura h=r. Calculamos com cuidado o termo r^{2}:
(2r)^{2} = 4r^{2}.
Portanto o volume é
V_{IV} = \pi (2r)^{2} \cdot r = \pi \cdot 4r^{2} \cdot r = 4\pi r^{3}.
Comparando,
V_{IV} = 4 V_{I}.
Intuição importante (útil na prova): dobrar o raio quadruplica a área da base ( \pi r^{2} \pi (2r)^{2} = 4\pi r^{2}), por isso o efeito sobre o volume é mais forte do que dobrar só a altura.

Passo 7

Modelo V: raio 2r e altura h/2 = r/2. Primeiro calcule a área da base com o raio dobrado: (2r)^{2}=4r^{2}. O volume é
V_{V} = \pi (2r)^{2} \cdot \frac{r}{2} = \pi \cdot 4r^{2} \cdot \frac{r}{2}.
Fazendo as contas:
4r^{2}\cdot\frac{r}{2} = \frac{4}{2} r^{3} = 2 r^{3},
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V_{V} = 2\pi r^{3}.
Comparando com V_{I},
V_{V} = 2 V_{I}.
Observe que mesmo com o raio dobrado, como a altura foi reduzida à metade, o ganho líquido no volume é um fator 2, igual ao do modelo II.

Passo 8

Agora compare todos os volumes em múltiplos de V_{I}:
V_{I} = 1 V_{I},\quad V_{II} = 2 V_{I},\quad V_{III} = 3 V_{I},\quad V_{IV} = 4 V_{I},\quad V_{V} = 2 V_{I}.
O maior múltiplo é 4 V_{I}, que corresponde ao modelo IV. Conclusão: o modelo IV oferece a maior capacidade.

Resposta

(D)

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