QUESTÃO 169
Temendo a época de estiagem, um grupo de moradores decidiu, em comunidade, a comprar uma grande caixa d’água para servir de reservatório. Entrando em contato com um fornecedor, este ofereceu caixas d’água cilíndricas. A caixa d’água I possui altura igual ao raio da base. Comparando os outros modelos com a I, obtinha-se certas análises.
- Modelo II: o dobro da altura de I.
- Modelo III: o triplo da altura de I.
- Modelo IV: o dobro do raio da base de I.
- Modelo V: o dobro do raio da base e metade da altura de I.
O modelo que apresenta a melhor opção para o maior armazenamento de água é:
(A) I.
(B) II.
(C)III.
(D) IV.
(A) I.
(B) II.
(C)III.
(D) IV.
Passo 1
Calma, a gente vai destrinchar o enunciado passo a passo. O problema pergunta qual modelo de caixa d’água cilíndrica oferece o maior armazenamento. As informações dadas sobre os modelos (comparados ao modelo I) são:
- Modelo I: altura igual ao raio da base. Vou chamar o raio de
e, portanto, a altura de com . - Modelo II: possui o dobro da altura de I (ou seja, altura
, com o raio igual ao de I). - Modelo III: possui o triplo da altura de I (ou seja, altura
, com o raio igual ao de I). - Modelo IV: possui o dobro do raio da base de I (ou seja, raio
, com a mesma altura de I). - Modelo V: possui o dobro do raio da base e metade da altura de I (ou seja, raio
e altura ).
O que nos pedem: identificar qual dos modelos (I, II, III, IV ou V) tem o maior volume (maior capacidade de água).
Passo 2
Fórmula chave: o volume
de um cilindro é dado por
Explicando:
é o raio da base (distância do centro até a borda),
é a altura do cilindro, e
é a constante (aprox.
). A área da base é
e multiplicando pela altura obtemos o volume. Essa fórmula é a base de toda a comparação — para cada modelo mudam
e/ou
.
Passo 3
Calculemos primeiro o volume do modelo I (referência). Tomando o raio da I como
e a altura
, temos
Vou usar
como unidade de comparação: todos os outros volumes serão expressos em múltiplos de
.
Passo 4
Modelo II: tem o mesmo raio
e altura
. Como
, a altura é
. O volume é
Comparando com
, concluímos que
Intuição: dobrar a altura dobra o volume (área da base não mudou).
Passo 5
Modelo III: mesmo raio
e altura
. Volume:
Logo
Intuição: triplicar a altura triplica o volume.
Passo 6
Modelo IV: raio dobrado
e mesma altura
. Calculamos com cuidado o termo
:
Portanto o volume é
Comparando,
Intuição importante (útil na prova): dobrar o raio quadruplica a área da base (
→
), por isso o efeito sobre o volume é mais forte do que dobrar só a altura.
Passo 7
Modelo V: raio
e altura
. Primeiro calcule a área da base com o raio dobrado:
. O volume é
Fazendo as contas:
logo
Comparando com
,
Observe que mesmo com o raio dobrado, como a altura foi reduzida à metade, o ganho líquido no volume é um fator
, igual ao do modelo II.
Passo 8
Agora compare todos os volumes em múltiplos de
:
O maior múltiplo é
, que corresponde ao modelo IV. Conclusão: o modelo IV oferece a maior capacidade.
Resposta
(D)