O cliente de um banco deseja aplicar $2.000,00 em caderneta de poupança, a uma taxa de
ao ano. Sabendo-se que ao final de cada ano os juros são sempre acumulados ao capital, pede-se:
c) No final de quanto tempo o cliente poderá resgatar o dobro do que investiu inicialmente?
c) No final de quanto tempo o cliente poderá resgatar o dobro do que investiu inicialmente?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
- Capital inicial:
. - Taxa de juros:
ao ano. - Juros capitalizados ao final de cada ano (juros compostos, isto é, capitalização anual).
Pergunta: No final de quanto tempo o cliente poderá resgatar o dobro do que investiu inicialmente? Ou seja, em quantos anos o montante serávezes o capital inicial?
Passo 2
Fórmula básica dos juros compostos (essa é a ferramenta que sempre usamos quando os juros são acumulados ao capital):
onde:
-
é o montante (valor acumulado) após períodos (aqui anos); -
é o capital inicial; -
é a taxa por período (aqui = por ano); -
é o número de períodos (anos) que queremos achar.
Explicando a fórmula de forma simples: a cada ano o capital é multiplicado por
. Após
anos multiplica-se
por
repetidamente
vezes, daí o fator
.
No nosso caso queremos que o montante seja o dobro do capital, ou seja
. Substituindo na fórmula:
Dividindo os dois lados por
(que é diferente de zero), obtemos a equação exponencial
Aqui
, então
Passo 3
Para resolver
isolamos
usando logaritmos. A propriedade que usamos é
. Aplicando
em ambos os lados:
Logo,
Isso significa: o número de anos necessários é a razão entre o logaritmo do fator de crescimento desejado (
) e o logaritmo do fator anual
. Pode usar logaritmo natural (
) ou base 10 — dá o mesmo resultado.
Passo 4
Agora calculamos numericamente. Valores aproximados (usando calculadora):
Dividindo:
Interpretação prática: isso significa cerca de
anos. Convertendo a parte decimal em meses:
ou seja aproximadamente
anos e
meses (um pouco mais: cerca de 3 meses e 8 dias).
Como checagem rápida (truque útil em prova): a “regra de 72” dá uma estimativa
anos para dobrar, muito próximo do valor exato
anos — bom sinal de coerência.
Passo 5
Resposta final redonda e prática para a prova: