O cliente de um banco deseja aplicar $2.000,00 em caderneta de poupança, a uma taxa de 10 \% ao ano. Sabendo-se que ao final de cada ano os juros são sempre acumulados ao capital, pede-se:
c) No final de quanto tempo o cliente poderá resgatar o dobro do que investiu inicialmente?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Capital inicial: P = R\$2.000{,}00.
  • Taxa de juros: i = 10\% ao ano.
  • Juros capitalizados ao final de cada ano (juros compostos, isto é, capitalização anual).
    Pergunta: No final de quanto tempo o cliente poderá resgatar o dobro do que investiu inicialmente? Ou seja, em quantos anos o montante será 2 vezes o capital inicial?

Passo 2

Fórmula básica dos juros compostos (essa é a ferramenta que sempre usamos quando os juros são acumulados ao capital):
A = P(1+i)^n,
onde:
  • A é o montante (valor acumulado) após n períodos (aqui anos);
  • P é o capital inicial;
  • i é a taxa por período (aqui 10\% = 0{,}10 por ano);
  • n é o número de períodos (anos) que queremos achar.
Explicando a fórmula de forma simples: a cada ano o capital é multiplicado por (1+i). Após n anos multiplica-se P por (1+i) repetidamente n vezes, daí o fator (1+i)^n.
No nosso caso queremos que o montante seja o dobro do capital, ou seja A = 2P. Substituindo na fórmula:
2P = P(1+i)^n.
Dividindo os dois lados por P (que é diferente de zero), obtemos a equação exponencial
2 = (1+i)^n.
Aqui i = 0{,}10, então
2 = (1{,}10)^n.

Passo 3

Para resolver 2 = (1{,}10)^n isolamos n usando logaritmos. A propriedade que usamos é \ln(a^b)=b\ln a. Aplicando \ln em ambos os lados:
\ln 2 = n \ln(1{,}10).
Logo,
n = \dfrac{\ln 2}{\ln(1{,}10)}.
Isso significa: o número de anos necessários é a razão entre o logaritmo do fator de crescimento desejado ( 2) e o logaritmo do fator anual (1{,}10). Pode usar logaritmo natural ( \ln) ou base 10 — dá o mesmo resultado.

Passo 4

Agora calculamos numericamente. Valores aproximados (usando calculadora):
\ln 2 \approx 0{,}693147,\qquad \ln(1{,}10) \approx 0{,}095310.
Dividindo:
n \approx \dfrac{0{,}693147}{0{,}095310} \approx 7{,}2725.
Interpretação prática: isso significa cerca de 7{,}27 anos. Convertendo a parte decimal em meses:
0{,}2725\times 12 \approx 3{,}27\\ \text{meses},
ou seja aproximadamente 7 anos e 3 meses (um pouco mais: cerca de 3 meses e 8 dias).
Como checagem rápida (truque útil em prova): a “regra de 72” dá uma estimativa 72/10 \approx 7{,}2 anos para dobrar, muito próximo do valor exato 7{,}27 anos — bom sinal de coerência.

Passo 5

Resposta final redonda e prática para a prova:
\text{o cliente poderá resgatar o dobro após aproximadamente }7{,}27\\ \text{anos} \\ (\text{aprox. }7\\ \text{anos e }3\\ \text{meses}).áó

Resposta

\approx 7{,}27\\ \text{anos}

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