O cliente de um banco deseja aplicar $2.000,00 em caderneta de poupança, a uma taxa de
ao ano. Sabendo-se que ao final de cada ano os juros são sempre acumulados ao capital, pede-se:
a) Escrever uma lei matemática que represente o montante
acumulado ao final de
anos.
a) Escrever uma lei matemática que represente o montante
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente as informações que temos):
- Capital inicial (depósito):
. - Taxa de juros:
ao ano. - Juros são acumulados ao capital ao final de cada ano (ou seja, capitalização anual composta).
- O que se pede: escrever uma lei matemática que represente o montante
acumulado ao final de anos.
Passo 2
Entendendo o que significa “juros acumulados ao capital” (explicação didática e curta):
- Juros simples: se os juros não fossem capitalizados, a fórmula seria
, onde é o capital inicial, é a taxa por período e é o número de períodos. Nesta fórmula os juros de cada período não entram na base para os juros seguintes. - Juros compostos (é o caso aqui): os juros de cada ano são somados ao capital e, no ano seguinte, os juros incidem sobre esse novo capital. Isso gera multiplicações sucessivas por
. A fórmula geral que surge é . Vou mostrar por que a potência aparece.
Passo 3
Construção passo a passo (ano a ano) para ver de onde vem
:
- Após 1 ano: o montante é o capital inicial mais os juros de um ano. Em fórmula:
Substituindo numericamente
e
:
Passo 4
- Após 2 anos: o que se tem no início do segundo ano é o montante
. No fim do segundo ano aplica-se novamente o fator :
Substituindo numericamente:
Passo 5
- Generalizando por repetição (indução simples): cada ano multiplica o montante do ano anterior por
. Depois de anos obtemos o produto repetido vezes, ou seja a potência:
Aqui:
-
é o montante acumulado após anos; -
é o capital inicial (no problema ); -
é a taxa anual em forma decimal (no problema ); -
é o número de anos (pode ser ; neste contexto assume-se inteiro não-negativo).
Passo 6
- Substituindo os valores do enunciado na fórmula geral para tornar a lei explícita:
Se quiser um exemplo rápido: para
anos,