O cliente de um banco deseja aplicar $2.000,00 em caderneta de poupança, a uma taxa de 10 \% ao ano. Sabendo-se que ao final de cada ano os juros são sempre acumulados ao capital, pede-se:
a) Escrever uma lei matemática que represente o montante M acumulado ao final de t anos.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente as informações que temos):
  • Capital inicial (depósito): 2.000,00.
  • Taxa de juros: 10\% ao ano.
  • Juros são acumulados ao capital ao final de cada ano (ou seja, capitalização anual composta).
  • O que se pede: escrever uma lei matemática que represente o montante M acumulado ao final de t anos.

Passo 2

Entendendo o que significa “juros acumulados ao capital” (explicação didática e curta):
  • Juros simples: se os juros não fossem capitalizados, a fórmula seria \;M_{\text{simples}}=P\,(1+r\,t)\;, onde P é o capital inicial, r é a taxa por período e t é o número de períodos. Nesta fórmula os juros de cada período não entram na base para os juros seguintes.
  • Juros compostos (é o caso aqui): os juros de cada ano são somados ao capital e, no ano seguinte, os juros incidem sobre esse novo capital. Isso gera multiplicações sucessivas por (1+r). A fórmula geral que surge é \;M=P(1+r)^t\;. Vou mostrar por que a potência aparece.

Passo 3

Construção passo a passo (ano a ano) para ver de onde vem (1+r)^t:
  • Após 1 ano: o montante é o capital inicial mais os juros de um ano. Em fórmula:
M_1 = P(1+r).
Substituindo numericamente P=2.000,00 e r=10\%=0,10:
M_1 = 2.000,00\,(1+0,10)=2.000,00\cdot 1,10 = 2.200,00.

Passo 4

  • Após 2 anos: o que se tem no início do segundo ano é o montante M_1. No fim do segundo ano aplica-se novamente o fator (1+r):
M_2 = M_1(1+r) = \bigl(P(1+r)\bigr)(1+r) = P(1+r)^2.
Substituindo numericamente:
M_2 = 2.000,00\cdot(1,10)^2 = 2.200,00\cdot 1,10 = 2.420,00.

Passo 5

  • Generalizando por repetição (indução simples): cada ano multiplica o montante do ano anterior por (1+r). Depois de t anos obtemos o produto repetido t vezes, ou seja a potência:
M(t)=P(1+r)^t.
Aqui:
  • M(t) é o montante acumulado após t anos;
  • P é o capital inicial (no problema P=2.000,00);
  • r é a taxa anual em forma decimal (no problema r=10\%=0,10);
  • t é o número de anos (pode ser 0,1,2,\dots; neste contexto assume-se t inteiro não-negativo).

Passo 6

  • Substituindo os valores do enunciado na fórmula geral para tornar a lei explícita:
M(t)=2.000,00\cdot(1+0,10)^t = 2.000,00\cdot(1,10)^t.
Se quiser um exemplo rápido: para t=3 anos,
M(3)=2.000,00\cdot(1,10)^3 = 2.000,00\cdot 1,331 = 2.662,00.

Resposta

M(t)=2.000,00\cdot(1,10)^t

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