Um cliente que chega ao restaurante de comida a quilo Projectus em até 3 minutos após a saída do cliente anterior receberá um desconto de 8 %. Se este tempo estiver entre 3 e 5 minutos o desconto é de 5 %, Se o intervalo de tempo for maior do que 5 minutos, o cliente ganha 2 % de desconto. O intervalo de tempo entre chegadas dos clientes segue uma exponencial com média de 4 minutos. Considerando-se esses valores, determine: (1,5 pt)
Qual a probabilidade de que um cliente que chega ao Projectus receba um desconto de 8 % ?

Passo 1

Beleza, então vamos lá! A gente tem um cliente que chega no restaurante Projectus e o desconto que ele recebe depende do tempo que ele leva para chegar depois do cliente anterior. A matéria aqui envolve probabilidade e a distribuição exponencial, que nos ajuda a modelar o tempo entre chegadas. Precisamos calcular a probabilidade de um cliente receber um desconto de 8%, ou seja, que ele chegue até 3 minutos após o cliente anterior.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente. A fórmula da Função de Distribuição Acumulada (FDA) da distribuição exponencial é:
F(t) = 1 - e^-lambda t
Onde:
  • $ F(t) $ é a probabilidade de o evento ocorrer até o tempo $ t $.
  • $ \lambda $ é a taxa média de ocorrência.
  • $ e $ é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828).

Passo 3

Sabemos que a média do tempo entre chegadas é de 4 minutos. A taxa $ \lambda $ é o inverso da média:
lambda é

Passo 4

Queremos saber a probabilidade de um cliente chegar até 3 minutos após o anterior. Usamos a FDA da distribuição exponencial:
F(3) = 1 - e^-14 times 3 = 1 - e^-0,75

Passo 5

Agora, vamos calcular $ e^{-0,75} $:
e^-0,75
Então:
e^-0,75 approx 0,4724

Resposta

A probabilidade de que um cliente que chega ao Projectus receba um desconto de 8% é de aproximadamente 52,76%.

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