Um cliente que chega ao restaurante de comida a quilo Projectus em até 3 minutos após a saída do cliente anterior receberá um desconto de
. Se este tempo estiver entre 3 e 5 minutos o desconto é de
, Se o intervalo de tempo for maior do que 5 minutos, o cliente ganha
de desconto. O intervalo de tempo entre chegadas dos clientes segue uma exponencial com média de 4 minutos. Considerando-se esses valores, determine:
Qual a probabilidade de que um cliente que chega ao Projectus receba um desconto de
?
Qual a probabilidade de que um cliente que chega ao Projectus receba um desconto de
Passo 1
Beleza, então vamos lá! A gente tem um cliente que chega no restaurante Projectus e o desconto que ele recebe depende do tempo que ele leva para chegar depois do cliente anterior. A matéria aqui envolve probabilidade e a distribuição exponencial, que nos ajuda a modelar o tempo entre chegadas. Precisamos calcular a probabilidade de um cliente receber um desconto de 8%, ou seja, que ele chegue até 3 minutos após o cliente anterior.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente. A fórmula da Função de Distribuição Acumulada (FDA) da distribuição exponencial é:
Onde:
- $ F(t) $ é a probabilidade de o evento ocorrer até o tempo $ t $.
- $ \lambda $ é a taxa média de ocorrência.
- $ e $ é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828).
Passo 3
Sabemos que a média do tempo entre chegadas é de 4 minutos. A taxa $ \lambda $ é o inverso da média:
Passo 4
Queremos saber a probabilidade de um cliente chegar até 3 minutos após o anterior. Usamos a FDA da distribuição exponencial:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ e^{-0,75} $:
Então:
Resposta
A probabilidade de que um cliente que chega ao Projectus receba um desconto de 8% é de aproximadamente 52,76%.