O objetivo da pesquisa é levantar o perfil dos estudantes de nível superior residentes numa determinada cidade de 100 mil habitantes. Porém, a prefeitura da cidade não possui uma estimativa de alunos de nível superior. Determinar a amostra para um NC de
e um erro de
.
Passo 1
O que o problema pede e o que nos foi dado:
- Pede-se determinar o tamanho da amostra necessária para estimar a proporção de estudantes de nível superior residentes numa cidade de
habitantes. - Informação do enunciado:
- população da cidade:
. - nível de confiança:
. - erro máximo tolerável (margem de erro):
. - não há estimativa prévia da proporção de estudantes (ou seja, o valor de
é desconhecido).
- população da cidade:
Passo 2
Conceitos e notação que vamos usar (explicados de forma clara):
- Estamos estimando uma proporção
(fração da população que são estudantes). Quando não se conhece , usa-se o valor conservador porque maximiza a variância e, assim, garante a amostra suficiente no pior caso. - O nível de confiança indica quão “seguro” queremos estar de que o intervalo de confiança contenha a verdadeira proporção; ele está ligado a um quantil da distribuição normal padrão, chamado
. - A fórmula básica (para população grande) para o tamanho de amostra necessário para estimar proporção com margem de erro
e nível de confiança associado a é:
Aqui:
-
é o tamanho de amostra sem correção por população finita, -
é o valor crítico da normal padrão correspondente ao nível de confiança, -
é a proporção estimada (aqui usaremos ), -
é a margem de erro desejada (aqui ).
Passo 3
Escolha do valor crítico
para
:
- Para níveis de confiança muito comuns:
→ , → . O nível corresponde aproximadamente a (regra empírica: ≈ desvios padrão). - Vamos usar
.
Passo 4
Calcular
(amostra para população considerada infinita):
- Substituindo
, e na fórmula:
- Numerador:
- Portanto
Isto significa que, se a população fosse muito grande (infinita), precisaríamos de
respostas para atingir
com
de confiança sob
.
Passo 5
Correção para população finita (porque
é conhecido e não é “infinito”):
- Quando a população finita tem tamanho
, usa-se a correção:
onde
é o tamanho de amostra corrigido.
- Aqui vamos usar
(a cidade tem habitantes). Observação: estamos usando como cota superior para o número de estudantes, já que a prefeitura não tem a estimativa; isso é conservador e aceitável quando não se conhece a população-alvo exata.
Passo 6
Cálculo com a correção para
:
- Primeiro calcule o denominador:
- Numerador:
- Dividindo:
Passo 7
Arredondamento e interpretação final:
- O tamanho de amostra deve ser inteiro e, para garantir que a margem de erro não seja ultrapassada, arredonda-se sempre para cima.
- Logo, tomamos
- Observação prática: se preferir não usar a correção por população finita (por exemplo se apenas quiser garantir sem considerar que
limita), o valor sem correção foi . Mas usando a informação de fica mais eficiente pedir entrevistas.