O objetivo da pesquisa é levantar o perfil dos estudantes de nível superior residentes numa determinada cidade de 100 mil habitantes. Porém, a prefeitura da cidade não possui uma estimativa de alunos de nível superior. Determinar a amostra para um NC de 99,7 \% e um erro de 2 \%.

Passo 1

O que o problema pede e o que nos foi dado:
  • Pede-se determinar o tamanho da amostra necessária para estimar a proporção de estudantes de nível superior residentes numa cidade de 100\,000 habitantes.
  • Informação do enunciado:
    • população da cidade: N=100000.
    • nível de confiança: 99{,}7\%.
    • erro máximo tolerável (margem de erro): E=2\% = 0{,}02.
    • não há estimativa prévia da proporção de estudantes (ou seja, o valor de p é desconhecido).

Passo 2

Conceitos e notação que vamos usar (explicados de forma clara):
  • Estamos estimando uma proporção p (fração da população que são estudantes). Quando não se conhece p, usa-se o valor conservador p=0{,}5 porque maximiza a variância p(1-p) e, assim, garante a amostra suficiente no pior caso.
  • O nível de confiança indica quão “seguro” queremos estar de que o intervalo de confiança contenha a verdadeira proporção; ele está ligado a um quantil da distribuição normal padrão, chamado z.
  • A fórmula básica (para população grande) para o tamanho de amostra necessário para estimar proporção com margem de erro E e nível de confiança associado a z é:
n_0=\dfrac{z^{2}\,p(1-p)}{E^{2}}.
Aqui:
  • n_0 é o tamanho de amostra sem correção por população finita,
  • z é o valor crítico da normal padrão correspondente ao nível de confiança,
  • p é a proporção estimada (aqui usaremos p=0{,}5),
  • E é a margem de erro desejada (aqui E=0{,}02).

Passo 3

Escolha do valor crítico z para 99{,}7\%:
  • Para níveis de confiança muito comuns: 95\% z\approx1{,}96, 99\% z\approx2{,}575. O nível 99{,}7\% corresponde aproximadamente a z\approx3{,}00 (regra empírica: 99{,}7\% 3 desvios padrão).
  • Vamos usar z=3.

Passo 4

Calcular n_0 (amostra para população considerada infinita):
  • Substituindo z=3, p=0{,}5 e E=0{,}02 na fórmula:
z^{2}=3^{2}=9, \qquad p(1-p)=0{,}5(1-0{,}5)=0{,}25, \qquad E^{2}=0{,}02^{2}=0{,}0004.
  • Numerador:
z^{2}p(1-p)=9\times0{,}25=2{,}25.
  • Portanto
n_0=\dfrac{2{,}25}{0{,}0004}=5625.
Isto significa que, se a população fosse muito grande (infinita), precisaríamos de 5625 respostas para atingir E=2\% com 99{,}7\% de confiança sob p=0{,}5.

Passo 5

Correção para população finita (porque N é conhecido e não é “infinito”):
  • Quando a população finita tem tamanho N, usa-se a correção:
n=\dfrac{N\,n_0}{n_0+N-1},
onde n é o tamanho de amostra corrigido.
  • Aqui vamos usar N=100000 (a cidade tem 100{,}000 habitantes). Observação: estamos usando N como cota superior para o número de estudantes, já que a prefeitura não tem a estimativa; isso é conservador e aceitável quando não se conhece a população-alvo exata.

Passo 6

Cálculo com a correção para N=100000:
  • Primeiro calcule o denominador:
n_0+N-1 = 5625 + 100000 - 1 = 105624.
  • Numerador:
N\,n_0 = 100000 \times 5625 = 562500000.
  • Dividindo:
n = \dfrac{562500000}{105624} \approx 5325{,}494\ldots

Passo 7

Arredondamento e interpretação final:
  • O tamanho de amostra deve ser inteiro e, para garantir que a margem de erro não seja ultrapassada, arredonda-se sempre para cima.
  • Logo, tomamos
n \approx 5326.
  • Observação prática: se preferir não usar a correção por população finita (por exemplo se apenas quiser garantir sem considerar que N limita), o valor sem correção foi n_0=5625. Mas usando a informação de N=100000 fica mais eficiente pedir 5326 entrevistas.

Resposta

n = 5326

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