Uma padaria afirma que o peso médio de seus pães é de 50 g . Um fiscal coleta 10 pães e obtém média de 48 g e desvio padrão de 2 g . Teste a veracidade dessa afirmação ao nível de 5 \%.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue. Informações dados:
n=10,\quad \bar{x}=48,\quad s=2,\quad \text{alegado: média } \mu_0=50,\quad \alpha=0,05.é
O que é pedido:
  • Testar a veracidade da afirmação da padaria (isto é, testar se a média verdadeira é 50 g) ao nível de significância de 5\%.

Passo 2

Escolha do método (sem tecnicismos): temos uma amostra pequena ( n=10) e não conhecemos o desvio-padrão da população (só temos s da amostra). Nesses casos usamos o teste t de Student para média (teste unilateral ou bilateral depende do enunciado). Como a padaria afirma exatamente que a média é 50 g, a verificação da “veracidade” é um teste bilateral (queremos ver se a média difere de 50 g, para mais ou para menos). Portanto usaremos o teste t bilateral com n-1 graus de liberdade.

Passo 3

Formulação das hipóteses (expressas claramente):
H_0:\\ \mu=50
H_1:\\ \mu\neq 50
Aqui \mu é a média verdadeira do peso dos pães. Rejeitamos H_0 se a estatística de teste cair na região crítica de nível \alpha=0,05 para um teste bilateral.

Passo 4

Fórmula da estatística de teste e explicação das variáveis. Usamos a estatística
t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}.
Explicando: \bar{x} é a média amostral, \mu_0 é a média sob H_0 (aqui 50), s é o desvio-padrão amostral, n é o tamanho da amostra. Sob H_0 e assumindo as hipóteses usuais (amostra aleatória, observações aproximadamente normais ou n razoável), essa razão segue a distribuição t com n-1 graus de liberdade. No nosso caso, n-1=9.

Passo 5

Cálculo da estatística t passo a passo:
t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}=\frac{48-50}{2/\sqrt{10}}=\frac{-2}{2/\sqrt{10}}=-\sqrt{10}.
Agora a aproximação numérica (usar \sqrt{10}\approx 3,162):
t\approx -3,162.
Interpretação: o valor amostral está 3,162 desvios-padrão amostrais abaixo do valor alegado 50.

Passo 6

Regra de decisão pelo valor crítico: para um teste bilateral com \alpha=0,05 e 9 graus de liberdade, o valor crítico positivo é
t_{0,975,9}\approx 2,262.
Rejeitamos H_0 se |t|>2,262. Como |t|=3,162>2,262, concluímos que H_0 deve ser rejeitada ao nível de 5\%.

Passo 7

Cálculo aproximado do p-valor (para interpretação): o p-valor bilateral é
\text{p-valor}=2\cdot P(T_{9}\le t_{\text{observado}}).
Usando tabelas de t ou interpolação, para t= -3,162 com 9 graus de liberdade a cauda unilateral é aproximadamente 0,006, logo a cauda bilateral vale aproximadamente
\text{p-valor}\approx 0,012.
Como 0,012<0,05, isso confirma a decisão anterior de rejeitar H_0. Em palavras: a probabilidade de observar uma média tão discrepante quanto 48 g (ou mais extrema) quando a verdadeira média fosse 50 g é cerca de 1{,}2\%, muito menor que 5\%.

Passo 8

Conclusão interpretada (sem formalismo seco): rejeitamos a hipótese de que a média real dos pães seja 50 g ao nível de significância de 5\%. Ou seja, os dados da amostra (média 48 g, s=2, n=10) são incompatíveis com a afirmação da padaria — há evidência estatística suficiente para afirmar que a média difere de 50 g. Força aí — esse é o tipo de conclusão que vale na prova: indicar o teste, calcular t, comparar com o crítico e interpretar o p-valor.

Resposta

Rejeita-se H_0. Estatística t\approx-3,162, t_{0,975,9}=2,262, p-valor \approx 0,012. Portanto, a afirmação de média 50 g não é compatível com a amostra (nível \alpha=0,05).

Exercícios relacionados