O tempo médio de leitura de um texto por alunos do ensino médio é 12 minutos. Um professor crê que seus alunos leem mais rápido. Com uma amostra de 15 alunos, obteve média de 10,5 minutos e desvio padrão de 1,6 minutos. Teste ao nível de
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede um teste ao nível de
:
- Tempo médio conhecido/populacional sob a hipótese nula:
minutos. - O professor crê que seus alunos leem mais rápido, portanto a hipótese alternativa é de que o verdadeiro tempo médio seja menor que
minutos. - Tamanho da amostra:
. - Média amostral obtida:
minutos. - Desvio padrão amostral:
minutos. - Nível de significância:
.
Pergunta explícita: realizar o teste de hipótese apropriado e decidir se há evidência, ao nível de
, de que o tempo médio dos alunos da turma é menor que
minutos.
Passo 2
Qual teste usar e por quê?
- A variância/desvio padrão populacional não foi dada, ou seja,
é desconhecido. - O tamanho da amostra é pequeno (
), então não podemos usar o teste-z com segurança. - Nessas condições usamos o teste t de Student para uma amostra (one-sample t-test).
Fórmula do estatístico t:
Explicando cada símbolo:
-
é a média da amostra (aqui ). -
é a média sob a hipótese nula (aqui ). -
é o desvio padrão da amostra (aqui ). -
é o tamanho da amostra (aqui ). - O denominador
é o erro padrão da média (ou standard error), que mede a variabilidade esperada da média amostral em torno da média populacional.
Graficamente/intuitivamente: se
está muito menor que
em relação ao erro padrão, obtemos um
muito negativo, indicando evidência contra
em favor de
.
Também precisamos dos graus de liberdade:
Passo 3
Calcular o erro padrão
.
Primeiro calcule
:
Agora o erro padrão:
(Arredondei para quatro casas decimais para manter a leitura clara; mantemos precisão suficiente para o teste.)
Passo 4
Calcular o valor do estatístico
.
Substituindo na fórmula:
Portanto o estatístico observado é aproximadamente
com
.
Passo 5
Determinar a regra de decisão (valor crítico ou p-valor).
Como o teste é unilateral à esquerda (
) e
, o valor crítico da t para
é
Para o teste à esquerda o ponto crítico é
. A regra de decisão:
- Rejeitar
se .
Alternativamente podemos usar o p-valor: o p-valor é
. Para
e
, o p-valor unilateral é aproximadamente
Você pode obter esse p-valor em tabela de t (interpolando) ou em calculadora/soft.
Passo 6
Comparar e concluir.
- Usando a comparação com o valor crítico:
. Logo rejeitamos . - Usando o p-valor:
. Logo rejeitamos .
Interpretação em linguagem simples: há evidência estatística, ao nível de
, de que os alunos desse professor têm tempo médio de leitura menor que
minutos — isto é, leem mais rápido que a média dada.
Passo 7
Resumo numérico final (valores importantes para anotar na prova):
- Estatístico de teste:
com . - Valor crítico (unilateral à esquerda,
): . - p-valor aproximado:
. - Decisão: rejeita-se
. Há evidência a de que .
Força: se quiser, anote também o efeito prático: a média amostral é
minutos, ou seja,
minutos mais rápida que
, e esse desvio é estatisticamente significativo dada a variabilidade observada.
Resposta
Rejeita-se
. Há evidência ao nível de
de que o tempo médio é menor que
minutos (estatístico
,
, p-valor
).