O tempo médio de leitura de um texto por alunos do ensino médio é 12 minutos. Um professor crê que seus alunos leem mais rápido. Com uma amostra de 15 alunos, obteve média de 10,5 minutos e desvio padrão de 1,6 minutos. Teste ao nível de 5 \%.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede um teste ao nível de 5\%:
  • Tempo médio conhecido/populacional sob a hipótese nula: \mu_0 = 12 minutos.
  • O professor crê que seus alunos leem mais rápido, portanto a hipótese alternativa é de que o verdadeiro tempo médio seja menor que 12 minutos.
  • Tamanho da amostra: n = 15.
  • Média amostral obtida: \bar{x} = 10{,}5 minutos.
  • Desvio padrão amostral: s = 1{,}6 minutos.
  • Nível de significância: \alpha = 0{,}05.
Pergunta explícita: realizar o teste de hipótese apropriado e decidir se há evidência, ao nível de 5\%, de que o tempo médio dos alunos da turma é menor que 12 minutos.

Passo 2

Qual teste usar e por quê?
  • A variância/desvio padrão populacional não foi dada, ou seja, \sigma é desconhecido.
  • O tamanho da amostra é pequeno ( n = 15), então não podemos usar o teste-z com segurança.
  • Nessas condições usamos o teste t de Student para uma amostra (one-sample t-test).
Fórmula do estatístico t:
t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • \bar{x} é a média da amostra (aqui \bar{x}=10{,}5).
  • \mu_0 é a média sob a hipótese nula (aqui \mu_0=12).
  • s é o desvio padrão da amostra (aqui s=1{,}6).
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=15).
  • O denominador s/\sqrt{n} é o erro padrão da média (ou standard error), que mede a variabilidade esperada da média amostral em torno da média populacional.
Graficamente/intuitivamente: se \bar{x} está muito menor que \mu_0 em relação ao erro padrão, obtemos um t muito negativo, indicando evidência contra H_0 em favor de H_1:\mu<\mu_0.
Também precisamos dos graus de liberdade:
\text{gl} = n-1 = 15-1 = 14.

Passo 3

Calcular o erro padrão s/\sqrt{n}.
Primeiro calcule \sqrt{n}:
\sqrt{n} = \sqrt{15} \approx 3{,}872983346.
Agora o erro padrão:
\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{1{,}6}{\sqrt{15}} \approx \frac{1{,}6}{3{,}872983346} \approx 0{,}4138.
(Arredondei para quatro casas decimais para manter a leitura clara; mantemos precisão suficiente para o teste.)

Passo 4

Calcular o valor do estatístico t.
Substituindo na fórmula:
t = \frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{10{,}5 - 12}{0{,}4138} = \frac{-1{,}5}{0{,}4138} \approx -3{,}63.
Portanto o estatístico observado é aproximadamente t \approx -3{,}63 com \text{gl}=14.

Passo 5

Determinar a regra de decisão (valor crítico ou p-valor).
Como o teste é unilateral à esquerda ( H_1: \mu < 12) e \alpha=0{,}05, o valor crítico da t para \text{gl}=14 é
t_{\alpha,\;14} = t_{0{,}05,\;14} \approx 1{,}761.
Para o teste à esquerda o ponto crítico é -1{,}761. A regra de decisão:
  • Rejeitar H_0 se t \le -1{,}761.
Alternativamente podemos usar o p-valor: o p-valor é P(T_{14} \le t_{\text{obs}}). Para t_{\text{obs}} \approx -3{,}63 e \text{gl}=14, o p-valor unilateral é aproximadamente
\text{p-valor} \approx 0{,}0018\\ (\text{aprox.}).
Você pode obter esse p-valor em tabela de t (interpolando) ou em calculadora/soft.

Passo 6

Comparar e concluir.
  • Usando a comparação com o valor crítico: t_{\text{obs}} \approx -3{,}63 \le -1{,}761. Logo rejeitamos H_0.
  • Usando o p-valor: \text{p-valor} \approx 0{,}0018 < \alpha = 0{,}05. Logo rejeitamos H_0.
Interpretação em linguagem simples: há evidência estatística, ao nível de 5\%, de que os alunos desse professor têm tempo médio de leitura menor que 12 minutos — isto é, leem mais rápido que a média dada.

Passo 7

Resumo numérico final (valores importantes para anotar na prova):
  • Estatístico de teste: t \approx -3{,}63 com \text{gl}=14.
  • Valor crítico (unilateral à esquerda, \alpha=0{,}05): -1{,}761.
  • p-valor aproximado: 0{,}0018.
  • Decisão: rejeita-se H_0. Há evidência a 5\% de que \mu<12.
Força: se quiser, anote também o efeito prático: a média amostral é 10{,}5 minutos, ou seja, 1{,}5 minutos mais rápida que 12, e esse desvio é estatisticamente significativo dada a variabilidade observada.

Resposta

Rejeita-se H_0. Há evidência ao nível de 5\% de que o tempo médio é menor que 12 minutos (estatístico t\approx -3{,}63, \text{gl}=14, p-valor \approx 0{,}0018).

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