Uma clínica especializada detecta de 3 tipos de vírus: X, Y e Z 50 % dos que procuram a clínica são portadores de X, 40 % são portadores de Y e 10 % de Z. As probabilidades de detecção, nessa clínica, são:
。 X: 0, 8
  • Y: 0,9
。 Z: 0,95
Um pessoa foi detectada com um dos vírus. Qual a probabilidade dele portar o vírus Y ?

Passo 1

O enunciado informa que uma pessoa que procura a clínica pode ter um dos vírus X, Y ou Z, com probabilidades a priori
P(X)=0,5, P(Y)=0,4, P(Z)=0,1,
e que a clínica detecta corretamente cada vírus com probabilidades
P(Dmid X)=0,8, P(Dmid Y)=0,9, P(Dmid Z)=0,95
A tarefa é usar o Teorema de Bayes para encontrar a probabilidade de que a pessoa tenha Y dado que foi detectada com algum vírus.

Passo 2

Pelo Teorema de Bayes, a probabilidade de interesse é
P(Ymid D)=P(Y),P(Dmid Y)P(X),P(Dmid X)+P(Y),P(Dmid Y)+P(Z),P(Dmid Z)

Passo 3

Calculamos o numerador e o denominador separadamente:
numerador = P(Y),P(Dmid Y)=0,4times0,9=0,36,
denominador = 0,5times0,8 + 0,4times0,9 + 0,1times0,95 = 0,4 + 0,36 + 0,095 = 0,855

Passo 4

Logo,
P(Ymid D)=0,360,855approx0,4211

Resposta

A probabilidade de a pessoa portar o vírus Y dado que foi detectada é aproximadamente 0,421 (ou 42,1%).

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