Na clínica de Psicologia BoaMente trabalham 3 doutoras as quais atendem 20 \%, 30 \% e 50 \% dos pacientes respectivamente. Entre os pacientes de cada Dra., 3 \%, 5 \% e 2 \%, respectivamente têm tratamentos referentes a ansiedade. Uma paciente é escolida ao acaso e resulta ser paciente por ansiedade. Qual é a probabilidade de ser atendida pela Dra. A? E pela Dra. C?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma para não perder nada):
  • Três doutoras atendem frações dos pacientes: Dra. A atende 20\%, Dra. B atende 30\% e Dra. C atende 50\%.
  • Entre os pacientes de cada doutora, a porcentagem de tratamentos referentes a ansiedade é: Dra. A: 3\%, Dra. B: 5\%, Dra. C: 2\%.
  • Foi escolhida uma paciente ao acaso e ela tem tratamento por ansiedade.
    As perguntas são:
  1. Qual é a probabilidade de que essa paciente seja atendida pela Dra. A?
  2. Qual é a probabilidade de que essa paciente seja atendida pela Dra. C?

Passo 2

Para responder usamos duas ideias fundamentais de probabilidade condicionada:
  • A probabilidade total de um evento (no nosso caso: a paciente ter ansiedade) quando há várias causas (as doutoras) é dada pela soma ponderada das probabilidades condicionais. Em fórmula:
P(\text{Ansiedade}) = P(\text{Ansiedade}\mid A)\,P(A) + P(\text{Ansiedade}\mid B)\,P(B) + P(\text{Ansiedade}\mid C)\,P\text{(C)}.
Aqui cada termo é: P(\text{Ansiedade}\mid A) = probabilidade de ansiedade dado que a paciente é da Dra. A; P(A) = probabilidade a priori de ser paciente da Dra. A (antes de sabermos que tem ansiedade).
  • A regra de Bayes nos dá a probabilidade buscada (posterior): a probabilidade de a paciente ser da Dra. A sabendo que tem ansiedade é
P(A\mid \text{Ansiedade})=\frac{P(\text{Ansiedade}\mid A)\,P(A)}{P(\text{Ansiedade})},
e análogamente para P(C\mid\text{Ansiedade}).
Vou explicar cada símbolo quando usá-lo numericamente.

Passo 3

Converter as porcentagens para números decimais (com vírgula, como preferes):
P(A)=0,20,\quad P(B)=0,30,\quad P\text{(C)}=0,50,
P(\text{Ansiedade}\mid A)=0,03,\quad P(\text{Ansiedade}\mid B)=0,05,\quad P(\text{Ansiedade}\mid C)=0,02.
Calcular P(\text{Ansiedade}) pela soma ponderada:
P(\text{Ansiedade})=0,20\cdot 0,03 + 0,30\cdot 0,05 + 0,50\cdot 0,02.
Agora faço cada produto:
0,20\cdot 0,03 = 0,006,
0,30\cdot 0,05 = 0,015,
0,50\cdot 0,02 = 0,010.
Somando:
P(\text{Ansiedade})=0,006+0,015+0,010=0,031.
(Isto significa que, no conjunto de todas as pacientes, 3,1\% têm tratamento por ansiedade.)

Passo 4

Agora aplico Bayes para a Dra. A:
P(A\mid\text{Ansiedade})=\frac{P(\text{Ansiedade}\mid A)\,P(A)}{P(\text{Ansiedade})}=\frac{0,006}{0,031}.
Para simplificar a fração, multiplico numerador e denominador por 1000:
\frac{0,006}{0,031}=\frac{6}{31}.
Convertendo para porcentagem:
\frac{6}{31}\approx 0,193548\ldots = 19,3548\%\approx 19,35\%.
Interpretação rápida: apesar de a Dra. A atender só 20\% das pacientes, ela concentra uma parte relevante (cerca de 19{,}35\%) das pacientes com ansiedade — faz sentido porque sua taxa por paciente em ansiedade ( 3\%) não é a menor.

Passo 5

Agora Bayes para a Dra. C:
P(C\mid\text{Ansiedade})=\frac{P(\text{Ansiedade}\mid C)\,P\text{(C)}}{P(\text{Ansiedade})}=\frac{0,010}{0,031}.
Simplificando:
\frac{0,010}{0,031}=\frac{10}{31}.
Convertendo para porcentagem:
\frac{10}{31}\approx 0,3225806\ldots = 32,25806\%\approx 32,26\%.
Intuição: Dra. C atende metade das pacientes, mas a taxa de ansiedade entre as suas pacientes é baixa ( 2\%), então ainda assim ela responde por cerca de 32{,}26\% das pacientes com ansiedade — é a segunda maior contribuição depois da Dra. B (se quiseriamos checar, Dra. B dá cerca de 48{,}39\%, mas isso não foi pedido).

Passo 6

Recapitulando de forma bem direta: calculamos a probabilidade total de ansiedade ( 0,031) pela soma ponderada e depois usamos Bayes para “inverter” a condição e obter a probabilidade de cada doutora dado que a paciente tem ansiedade. Se estiveres nervoso para a prova: lembra que esse tipo de problema segue sempre os mesmos passos — (1) calcular a probabilidade total do evento pela soma ponderada; (2) aplicar Bayes para encontrar a probabilidade condicionada desejada. Tu consegue aplicar isso com calma na hora 😃

Resposta

P(\text{Dra A}\mid \text{ansiedade})=\dfrac{6}{31}\approx 19,35\%
P(\text{Dra C}\mid \text{ansiedade})=\dfrac{10}{31}\approx 32,26\%

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