Na clínica de Psicologia BoaMente trabalham 3 doutoras as quais atendem
,
e
dos pacientes respectivamente. Entre os pacientes de cada Dra.,
,
e
, respectivamente têm tratamentos referentes a ansiedade. Uma paciente é escolida ao acaso e resulta ser paciente por ansiedade. Qual é a probabilidade de ser atendida pela Dra. A? E pela Dra. C?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma para não perder nada):
- Três doutoras atendem frações dos pacientes: Dra. A atende
, Dra. B atende e Dra. C atende . - Entre os pacientes de cada doutora, a porcentagem de tratamentos referentes a ansiedade é: Dra. A:
, Dra. B: , Dra. C: . - Foi escolhida uma paciente ao acaso e ela tem tratamento por ansiedade.
As perguntas são:
- Qual é a probabilidade de que essa paciente seja atendida pela Dra. A?
- Qual é a probabilidade de que essa paciente seja atendida pela Dra. C?
Passo 2
Para responder usamos duas ideias fundamentais de probabilidade condicionada:
- A probabilidade total de um evento (no nosso caso: a paciente ter ansiedade) quando há várias causas (as doutoras) é dada pela soma ponderada das probabilidades condicionais. Em fórmula:
Aqui cada termo é:
= probabilidade de ansiedade dado que a paciente é da Dra. A;
= probabilidade a priori de ser paciente da Dra. A (antes de sabermos que tem ansiedade).
- A regra de Bayes nos dá a probabilidade buscada (posterior): a probabilidade de a paciente ser da Dra. A sabendo que tem ansiedade é
e análogamente para
.
Vou explicar cada símbolo quando usá-lo numericamente.
Vou explicar cada símbolo quando usá-lo numericamente.
Passo 3
Converter as porcentagens para números decimais (com vírgula, como preferes):
Calcular
pela soma ponderada:
Agora faço cada produto:
Somando:
(Isto significa que, no conjunto de todas as pacientes,
têm tratamento por ansiedade.)
Passo 4
Agora aplico Bayes para a Dra. A:
Para simplificar a fração, multiplico numerador e denominador por
:
Convertendo para porcentagem:
Interpretação rápida: apesar de a Dra. A atender só
das pacientes, ela concentra uma parte relevante (cerca de
) das pacientes com ansiedade — faz sentido porque sua taxa por paciente em ansiedade (
) não é a menor.
Passo 5
Agora Bayes para a Dra. C:
Simplificando:
Convertendo para porcentagem:
Intuição: Dra. C atende metade das pacientes, mas a taxa de ansiedade entre as suas pacientes é baixa (
), então ainda assim ela responde por cerca de
das pacientes com ansiedade — é a segunda maior contribuição depois da Dra. B (se quiseriamos checar, Dra. B dá cerca de
, mas isso não foi pedido).
Passo 6
Recapitulando de forma bem direta: calculamos a probabilidade total de ansiedade (
) pela soma ponderada e depois usamos Bayes para “inverter” a condição e obter a probabilidade de cada doutora dado que a paciente tem ansiedade. Se estiveres nervoso para a prova: lembra que esse tipo de problema segue sempre os mesmos passos — (1) calcular a probabilidade total do evento pela soma ponderada; (2) aplicar Bayes para encontrar a probabilidade condicionada desejada. Tu consegue aplicar isso com calma na hora 😃