Um fuzileiro acerta o alvo com 0.10 de prob. em cada tentativa. Qual é a probabilidade de nunca acertar ao alvo? E de acertar no alvo no 10^{\circ} tiro.

Passo 1

Dados do enunciado:
\text{Probabilidade de acerto em cada tentativa } p = 0,10.
Pressupomos tentativas independentes e idênticas (cada tentativa tem a mesma probabilidade p e não influencia as outras).
Perguntas:
  1. Qual é a probabilidade de nunca acertar o alvo?
  2. Qual é a probabilidade de acertar no alvo no 10^{\circ} tiro?

Passo 2

Modelagem e ideia-chave (explicação didática passo a passo).
  • Cada tentativa é um experimento de Bernoulli: dois resultados possíveis — “acerta” com probabilidade p e “erra” com probabilidade 1-p.
  • Se representarmos por X a posição do primeiro acerto (ou seja, X=k significa que a primeira vez que acerta é no k-ésimo tiro), então X segue a distribuição geométrica com parâmetro p.
  • A fórmula fundamental da distribuição geométrica (no modelo em que contamos o número do primeiro sucesso) é:
\Pr(X=k) = (1-p)^{k-1}\,p,
onde:
  • \Pr(X=k) é a probabilidade do primeiro sucesso ocorrer exatamente no tiro k,
  • p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa,
  • (1-p)^{k-1} é a probabilidade de falhar nas k-1 primeiras tentativas.
  • Para a probabilidade de não obter nenhum sucesso em n tentativas, a fórmula é:
\Pr(\text{nenhum acerto em }n\text{ tentativas})=(1-p)^n,
pois é preciso falhar em todas as n tentativas.

Passo 3

Resolver a primeira pergunta: probabilidade de nunca acertar o alvo (considerando sequências arbitrariamente longas).
  • Se a pergunta é sobre nunca acertar em um número finito n de tentativas, a probabilidade é (1-p)^n.
  • Se a pergunta é sobre nunca acertar ao longo de uma sequência infinita de tentativas (ou seja, “em algum momento” conseguir um acerto), usamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}(1-p)^n.
  • Substituindo p=0,10 temos 1-p=0,90. Então
\lim_{n\to\infty}(0,90)^n = 0,
porque 0,90<1 e potências de um número menor que 1 tendem a zero quando o expoente cresce indefinidamente.
Interpretação intuitiva: com probabilidade positiva p>0 em cada tentativa e tentativas independentes, a chance de nunca acertar mesmo fazendo infinitas tentativas é 0; quase certamente (com probabilidade 1) o atirador acabará acertando em algum tiro.

Passo 4

Resolver a segunda pergunta: probabilidade de acertar no 10^{\circ} tiro.
  • Usamos a fórmula da geométrica para k=10:
\Pr(X=10)=(1-p)^{10-1}\,p=(1-p)^9 p.
  • Substituindo p=0,10 e 1-p=0,90:
\Pr(X=10)=(0,90)^9\cdot 0,10.
  • Vamos calcular passo a passo (potências de 0,90):
(0,90)^2=0,81,
(0,90)^3=0,729,
(0,90)^4=0,6561,
(0,90)^5=0,59049,
(0,90)^6=0,531441,
(0,90)^7=0,4782969,
(0,90)^8=0,43046721,
(0,90)^9=0,387420489.
  • Multiplicando por p=0,10:
\Pr(X=10)=0,387420489\times 0,10=0,0387420489.
  • Em porcentagem isso é aproximadamente 3,874\%. Podemos arredondar para, por exemplo, 0,03874 (quatro casas decimais).

Passo 5

Checagem rápida e interpretação final:
  • A probabilidade de acertar pela primeira vez exatamente no 10^{\circ} tiro é pequena porque isso exige errar 9 vezes seguidas (evento com probabilidade relativamente alta ainda) e só então acertar.
  • A soma das probabilidades \sum_{k=1}^{\infty}\Pr(X=k)=1, ou seja, com probabilidade 1 algum k ocorrerá — por isso a probabilidade de nunca acertar em infinitas tentativas é 0.

Resposta

\Pr(\text{nunca acertar ao longo de tentativas infinitas})=0.
\Pr(\text{acertar no }10^{\circ}\text{ tiro})=(0,90)^9\cdot 0,10=0,0387420489\approx 0,03874.

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