Um fuzileiro acerta o alvo com 0.10 de prob. em cada tentativa. Qual é a probabilidade de nunca acertar ao alvo? E de acertar no alvo no
tiro.
Passo 1
Dados do enunciado:
Pressupomos tentativas independentes e idênticas (cada tentativa tem a mesma probabilidade
e não influencia as outras).
Perguntas:
- Qual é a probabilidade de nunca acertar o alvo?
- Qual é a probabilidade de acertar no alvo no
tiro?
Passo 2
Modelagem e ideia-chave (explicação didática passo a passo).
- Cada tentativa é um experimento de Bernoulli: dois resultados possíveis — “acerta” com probabilidade
e “erra” com probabilidade . - Se representarmos por
a posição do primeiro acerto (ou seja, significa que a primeira vez que acerta é no -ésimo tiro), então segue a distribuição geométrica com parâmetro . - A fórmula fundamental da distribuição geométrica (no modelo em que contamos o número do primeiro sucesso) é:
onde:
-
é a probabilidade do primeiro sucesso ocorrer exatamente no tiro , -
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa, -
é a probabilidade de falhar nas primeiras tentativas. - Para a probabilidade de não obter nenhum sucesso em
tentativas, a fórmula é:
pois é preciso falhar em todas as
tentativas.
Passo 3
Resolver a primeira pergunta: probabilidade de nunca acertar o alvo (considerando sequências arbitrariamente longas).
- Se a pergunta é sobre nunca acertar em um número finito
de tentativas, a probabilidade é . - Se a pergunta é sobre nunca acertar ao longo de uma sequência infinita de tentativas (ou seja, “em algum momento” conseguir um acerto), usamos o limite quando
:
- Substituindo
temos . Então
porque
e potências de um número menor que 1 tendem a zero quando o expoente cresce indefinidamente.
Interpretação intuitiva: com probabilidade positiva
em cada tentativa e tentativas independentes, a chance de nunca acertar mesmo fazendo infinitas tentativas é
; quase certamente (com probabilidade 1) o atirador acabará acertando em algum tiro.
Passo 4
Resolver a segunda pergunta: probabilidade de acertar no
tiro.
- Usamos a fórmula da geométrica para
:
- Substituindo
e :
- Vamos calcular passo a passo (potências de
):
- Multiplicando por
:
- Em porcentagem isso é aproximadamente
. Podemos arredondar para, por exemplo, (quatro casas decimais).
Passo 5
Checagem rápida e interpretação final:
- A probabilidade de acertar pela primeira vez exatamente no
tiro é pequena porque isso exige errar 9 vezes seguidas (evento com probabilidade relativamente alta ainda) e só então acertar. - A soma das probabilidades
, ou seja, com probabilidade 1 algum ocorrerá — por isso a probabilidade de nunca acertar em infinitas tentativas é 0.